Αναδρομική ακολουθία

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία

$\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$

Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2024 3:38 pm
Πρόβλημα. Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία

$\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$

Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$ .

Θέτουμε

, οπότε έχουμε ότι b_1=b=1/a>0

και $b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}$ . Παρατηρούμε ότι $b_2=\dfrac{b_1^2+1}{b_1} \geq 2$ , συνεπώς $b_2 \geq 2$ .

Ισχυρισμός: $b_n \geq n$ για κάθε $n \geq 2$ .
Απόδειξη: Άμεσο επαγωγικά. Έχουμε ήδη δείξει την βάση της επαγωγής, ενώ αν $b_n \geq n$ , είναι

$b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}=(n+1)+\dfrac{(b_n-1)(b_n-n)}{b_n} \geq n+1$ ,

όπως θέλαμε $\blacksquare$

Θέτουμε τώρα $c_n=\dfrac{n}{b_n}$ . Παρατηρούμε ότι

$c_{n+1}=\dfrac{n+1}{b_{n+1}}=\dfrac{(n+1)b_n}{n+b_n^2} \geq \dfrac{n}{b_n}=c_n$ ,

συνεπώς η ακολουθία c_n

είναι αύξουσα για $n \geq 2$ , ενώ από τον Ισχυρισμό είναι και άνω φραγμένη από τον

, άρα συγκλίνει στο $\ell \in \mathbb{R}$ .

Τώρα, από το Cesàro-Stolz (πληρούνται οι προϋποθέσεις του καθώς η (b_n)

είναι αύξουσα και αποκλίνουσα), έχουμε ότι υπάρχει το όριο της ακολουθίας

$\dfrac{(n+1)-n}{b_{n+1}-b_n}=\dfrac{b_n}{n}$ ,

και μάλιστα ισούται με $\ell$ . Αυτό σημαίνει ότι $\ell=1/\ell$ , άρα $\ell=1$ (προφανώς $\ell \geq 0$ ), που δίνει ότι $n/b_n \rightarrow 1$ , και άρα $na_n \rightarrow 1$ , όπως θέλαμε.

Αναδρομική ακολουθία

Αναδρομική ακολουθία

Re: Αναδρομική ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση