Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

TrItOs · #1

Πρόβλημα (1) : Αν για την συνάρτηση ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η ανισότητα $\big| f(x) - 2 \chi_{A}(x) \big| < 1$ , όπου ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι η δεν είναι μετρήσιμη.

Πρόβλημα (2) : Δίνεται $f_{0}(x) = 0$ και $f_{n+1}(x) = \sqrt{x + f_{n}(x)}$ , για κάθε $n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ . Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \lim\limits_{n \to + \infty} \int\limits_{0}^{3} \big( 2 f_{n}(x) - 1 \big)^{2} d x }$ .

Πρόβλημα (3) : Έστω $f, g : [ a, b ] \rightarrow \mathbb{R}$ συναρτήσεις με σχεδόν παντού στο και συνεχείς στο .
Ερώτημα : Είναι στο

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 07, 2022 11:44 pm

Πρόβλημα (1) : Αν για την συνάρτηση ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η ανισότητα $\big| f(x) - 2 \chi_{A}(x) \big| < 1$ , όπου ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι η δεν είναι μετρήσιμη.

Πρόβλημα (2) : Δίνεται $f_{0}(x) = 0$ και $f_{n+1}(x) = \sqrt{x + f_{n}(x)}$ , για κάθε $n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$ . Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \lim\limits_{n \to + \infty} \int\limits_{0}^{3} \big( 2 f_{n}(x) - 1 \big)^{2} d x }$ .

Και τα δύο είναι αρκετά απλά. Επειδή δεν είμαι βέβαιος αν είναι ασκήσεις που θέλεις να μοιραστείς μαζί μας ή αν τις έχεις ως άλυτες, θα δώσω μόνο υπόδειξη.

Πρόβλημα 1. Για $a\in A$ γράξε μία ανισότητα για το f(a)

της μορφής p< f(a) < q

. Κάνε το ίδιο για το f(a)

στην περίπτωση που $a\notin A$ . Από τις δύο αυτές θα μπορείς να διαβάσεις το $f^{-1}((-\infty,\, 1))$

Πρόβλημα 2. Δουλεύουμε το [0,3]

. Δείξε επαγωγικά ότι η

είναι αύξουσα και φραγμένη, οπότε συγκλίνει. Βρες το όριό της (είναι $\frac {1}{2}(1+\sqrt {1+4x}$ ). Πάρε τώρα όριο στο ολοκλήρωμα.

TrItOs · #3

Λύση 1 : Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι μετρήσιμη, θα ισχύει ότι το σύνολο $\big \{ f < 1 \big \}$ είναι μετρήσιμο, τότε είναι:
$\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \Rightarrow \begin{cases} x \in A : 1 < f(x) < 3 \\ x \in \mathbb{R} \setminus A : - 1 < f(x) < 1 \end{cases} \Rightarrow \big \{ f < 1 \big \} = \big \{ x \in \mathbb{R} : f(x) < 1 \big \} = \mathbb{R} \setminus A }$
όμως το σύνολο $\mathbb{R} \setminus A$ δεν είναι μετρήσιμο, το οποίο είναι άτοπο.

Λύση 2 : Παρατηρούμε σε πρώτο βήμα ότι $\displaystyle{ 0 < f_{n}(x) = \underbrace{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{ \cdots + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}}}}_{n-squares roots}, \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [ 0, 3 ]. }$
Ισχυρισμός (1) : $\big| f_{n}(x) \big| < 6, \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [ 0, 3 ].$
Απόδειξη του Ισχυρισμού (1) : Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο $n \in \mathbb{N}$ .
Για $n=1 \Rightarrow f_{1}(x) = \sqrt{x} \leqslant \sqrt{3} < 6, \forall x \in [ 0, 3 ].$
Για $n=2 \Rightarrow f_{2}(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}} \leqslant \sqrt{3 + 6} = 3 < 6, \forall x \in [ 0, 3 ].$
Υποθέτουμε ότι ο Ισχυρισμός (1) ισχύει για κάποιο $k \in \mathbb{N}$ , δηλαδή $\big| f_{k}(x) \big| < 6, \forall x \in [ 0, 3 ].$ Θα το αποδείξουμε για το . Έχουμε ότι $\big| f_{k+1}(x) \big| = \sqrt{x + f_{k}(x)} < \sqrt{3 + 6} = 3 < 6, \forall x \in [ 0, 3 ].$

Ισχυρισμός (2) : $f_{n+1}(x) > f_{n}(x), \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [ 0, 3 ].$
Απόδειξη του Ισχυρισμού (2) : Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο $n \in \mathbb{N}$ .
Για $n=1 \Rightarrow f_{1}(x) = \sqrt{x} \leqslant \sqrt{x + \sqrt{x}} = f_{2}(x), \forall x \in [ 0, 3 ].$
Υποθέτουμε ότι ο Ισχυρισμός (2) ισχύει για κάποιο $k \in \mathbb{N}$ , δηλαδή $f_{k}(x) < f_{k+1}(x), \forall x \in [ 0, 3 ].$ Θα το αποδείξουμε για το . Έχουμε ότι $f_{k+2}(x) = \sqrt{x + f_{k+1}(x)} > \sqrt{x + f_{k}(x)} = f_{k+1}(x), \forall x \in [ 0, 3 ].$
Οπότε η ακολουθία συναρτήσεων $\big( f_{n}(x) \big)_{n=1}^{+ \infty}$ συγκλίνει σε μια συνάρτηση και αυτή ικανοποιεί τη σχέση $f(x) = \sqrt{x + f(x)}, \forall x \in [0, 3] \Rightarrow f(x) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}, \forall x \in [0, 3]$

Ικανοποιείται το Θεώρημα Κυριαρχούμενης Σύγκλισης, οπότε $\displaystyle{ \lim\limits_{n \to + \infty} \int\limits_{0}^{3} \big( 2 f_{n}(x) - 1 \big)^{2} d x = \int\limits_{0}^{3} \big( 2 f(x) - 1 \big)^{2} d x = \int\limits_{0}^{3} \big( 1 + 4 x \big) d x = 3 + 2 \cdot 3^{2} = 21. }$

#4

Σωστά.

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι υπάρχουν μερικά περιττά βήματα. Χάνεσαι στην λεπτομέρεια. Για παράδειγμα:

Πρόβλημα 1. Δεν χρειάζεται να πάμε με άτοπο. Απευθείας, αφού δείξεις ότι για 1< f(x)

για $x\in A$ και f(x)<1

στο

, έπεται $f^{-1}((-\infty,\, ,1))= A^c$ ίσον μη μετρήσιμο. Τελειώσαμε.

Πρόβλημα 2. Δεν χρειάζεται να βρείς τύπο για τα f_n

ως φωλιασμένα ριζικά. Πιο απλά η επαγωγή της μονοτονίας πάει ως εξής:

$(f_{n+1}(x) \ge f_n(x) ) \Rightarrow ( \sqrt {x+f_{n+1}(x) } \ge \sqrt {x+ f_n(x)} ) \Rightarrow (f_{n+2}(x) \ge f_{n+1}(x) )$ . Τελειώσαμε.

Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

Re: Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

Re: Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

Re: Προβλήματα στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης

Μέλη σε σύνδεση