Συνθήκη Lipschitz (2)

#1

Νά εξετασθεί άν γιά τήν συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} x\,\sqrt{x}\,\sin\tfrac{1}{x}\,,& 0<{x}\leq1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0\,,& x=0 \end{array}}\right.$ , υπάρχει πραγματικός αριθμός

, τέτοιος ώστε:

$\left|{f({x})-f({y})}\right|\leq{K}\,|{x-y}|$ , γιά όλα τά $x,y\in\left[{0,\,1}\right]$ .

[Δηλαδή άν ισχύει η συνθήκη $\rm{Lipschitz}$ .]

Ωmega Man · #2

H $\bf f$ είναι συνεχής στο $\bf [0,1]$ αλλά η πρώτη της παράγωγος $\displaystyle \bf -\frac{\text{Cos}\left[\frac{1}{x}\right]}{\sqrt{x}}+\frac{3}{2} \sqrt{x} \text{Sin}\left[\frac{1}{x}\right]$ δεν είναι φραγμένη στο δοθέν διάστημα, άρα δεν υπάρχει τέτοια σταθερά $\bf K$ . Παρακάτω δίνεται και το γράφημα της πρώτης παραγώγου.

#3

Ίδια μέ τήν λύση τού Γιώργου εκφρασμένη μέ πιό τυπικό τρόπο:

Η συνάρτηση $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} x\,\sqrt{x}\,\sin\tfrac{1}{x}\,,& 0<{x}\leq1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0\,,& x=0 \end{array}}\right.$ , είναι παραγωγίσιμη στό $\left[{0,\,1}\right]$ .

Άν $\left({x_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ , $\left({y_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ είναι δύο μή-μηδενικές ακολουθίες μέ $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{x_n}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{y_n}=0$ , τότε από τό Θεώρημα Μέσης Τιμής γιά τήν

στό διάστημα $[{x_n,\,y_n}]$ , υπάρχει $u_n\in({x_n,\,y_n})$ , τέτοιο ώστε

$f^{\prime}({u_n})=\dfrac{3\sqrt{u_n}}{2}\,\sin\tfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}\,\cos\tfrac{1}{u_n}=\dfrac{f({x_n})-f({y_n})}{x_n-y_n}\quad\Leftrightarrow$

$\left|{\dfrac{f({x_n})-f({y_n})}{x_n-y_n}}\right|=\left|{\dfrac{3\sqrt{u_n}}{2}\,\sin\tfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}\,\cos\tfrac{1}{u_n}}\right|$ .

Όμως $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}{u_n}=0$ καί $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\left|{\dfrac{3\sqrt{u_n}}{2}\,\sin\tfrac{1}{u_n}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}\,\cos\tfrac{1}{u_n}}\right|=+\infty$ .

Επομένως δέν υπάρχει K>0

, τέτοιο ώστε γιά κάθε $x,y\in\left[{0,\,1}\right]$ νά ισχύει $\left|{\dfrac{f({x})-f({y})}{x-y}}\right|\leq{K}$ . Άρα γιά τήν συνάρτηση

δέν ισχύει η συνθήκη $\rm{Lipschitz}.\quad\square$

Συνθήκη Lipschitz (2)

Συνθήκη Lipschitz (2)

Re: Συνθήκη Lipschitz (2)

Re: Συνθήκη Lipschitz (2)

Μέλη σε σύνδεση