U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα U550 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. Η ημερομηνία υποβολής των λύσεων παρήλθε, ήταν η 15-5-2021, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας.Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam.

Έστω $f_{n}\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x+1 \right )\left ( x^{4}-x^{2}+1 \right )\left ( x^{8}-x^{4}+1 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1 \right )$

Αποδείξτε ότι για $\left | x \right |< 1$ ισχύει $\displaystyle\frac{1}{3}< \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left \leq \frac{4}{3}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 16, 2021 7:38 am
Έστω $f_{n}\left ( x \right )=\left ( x^{2}-x+1 \right )\left ( x^{4}-x^{2}+1 \right )\left ( x^{8}-x^{4}+1 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( x^{2^{n}}-x^{2^{n-1}}+1 \right )$

Αποδείξτε ότι για $\left | x \right |< 1$ ισχύει $\displaystyle\frac{1}{3}< \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left \leq \frac{4}{3}$

Μπορούμε να το βελτιώσουμε δείχνοντας ότι $\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left ( x \right )\left = \dfrac{1}{1+x+x^2}}$ από όπου εύκολα οι ανισότητες αφού $\displaystyle{ 1+x+x^2= \left ( x-\frac {1}{2} \right ) ^2 + \frac {3}{4} }$ , και λοιπά (ακρότατα στο 1/2

και στα άκρα $\pm 1$ ).

Για την απόδειξη της βελτίωσης

$\displaystyle{ f_{n}\left ( x \right )= \dfrac {1+x^3}{1+x} \cdot \dfrac {1+x^6}{1+x^2} \cdot \dfrac {1+x^{12}}{1+x^4} \cdot ... \dfrac {1+x^{3\cdot 2^{n-1}}}{1+x^{2^{n-1}} }$ .

Tώρα, ο παρονομαστής τείνει στο (γνωστό ως γινόμενο Euler)

$\displaystyle{ (1+x)(1+x^2)(1+x^4) (1+x^8) ... = 1+x+x^2+x^3+x^4 +... = \dfrac {1}{1-x}}$

Ο αριθμητής είναι το ίδιο αλλά με x^3

στην θέση του

. Έτσι όλο μαζί τείνει στο $\displaystyle{\dfrac {\frac {1}{1-x^3}}{\dfrac {1} {1-x}}= \dfrac{1}{1+x+x^2}}$

U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U 550 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση