Διαφορική εξίσωση

#1

Να λυθεί η παρακάτω διαφορική εξίσωση με την εύρεση κατάλληλου ολοκληρωτικού παράγοντα:

$\displaystyle{(3x + 2y + y^2)dx + (x + 4xy + 5y^2)dy = 0.}$

#2

Θεωρούμε

οπότε

Επίσης $\displaystyle{\frac{M_y-N_x}{N-M}=-\frac{1}{2(x+y)},}$

οπότε ένας ολοκληρώνοντας παράγοντας είναι:

$\displaystyle{e^{\int \left(-\frac{1}{2(x+y)}\right)d(x+y)}=\frac{1}{\sqrt{x+y}}.}$

Πολλαπλασιάζοντας την αρχική εξίσωση με $\frac{1}{\sqrt{x+y} } ,$ βρίσκουμε:
$\displaystyle{\frac{3x+2y+y^2}{\sqrt{x+y}}dx+\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}}dy=0,}$

η οποία είναι ακριβής, δηλαδή υπάρχει συνάρτηση $\psi(x,y)$ έτσι ώστε
$\displaystyle{\frac{3x+2y+y^2}{\sqrt{x+y}}dx+\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}}dy=\frac{d}{dx}\psi(x,y),}$

για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\begin{cases} \psi_x=\frac{3x+2y+y^2}{\sqrt{x+y}} \\ \psi_y=\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}} \end{cases}}$

$\displaystyle{\begin{cases} \psi=2\sqrt{x+y}(x+y^2)+h(y) \\ \psi_y=\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}} \end{cases}}$

$\displaystyle{\begin{cases} \psi_y=\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}} +h'(y) \\ \psi_y=\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}} \end{cases},}$
οπότε $h'(y)=0 \Leftrightarrow h(y)=c_1,$

άρα $\psi(x,y)=2\sqrt{x+y}(x+y^2)+c_1,$

οπότε $\displaystyle{\frac{3x+2y+y^2}{\sqrt{x+y}}dx+\frac{x+4xy+5y^2}{\sqrt{x+y}}dy=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x+y}(x+y^2)+c_1\right)=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\sqrt{x+y}(x+y^2)=c.}$

Διαφορική εξίσωση

Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση