Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

#1

Νά βρεθεί η μέγιστη καί η ελάχιστη τιμή τής συνάρτησης $f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}};$ $f(x,y)=e^{-x^2-y^2-xy+1}$ στό σύνολο $A=\left\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2:\,1\leq{x^2+y^2}\leq4}\right\}$ .

#2

καλημέρα

αρκεί να βρούμε ΜΑΧ,ΜΙΝ του εκθέτη E σε πολικές όταν $\displaystyle{1\le r\le 2 ,E=-r^2/2(2+sin2\phi )+1}$ κατασκευαστικά ΜΑΧ=1/2,ΜΙΝ=-5

#3

Θέλωντας νά δώ καί άλλες προσεγγίσεις γιά τήν λύση τής άσκησης, εσκεμμένα, δέν ζητήθηκε καί η εύρεση τών ακροτάτων τής συνάρτησης $\it{f}$ . Η λύση πού έδωσε ο Ροδόλφος είναι έξυπνη καί σύντομη. Μιά δεύτερη προσέγγιση -γιά τήν εύρεση μόνο τής μεγίστης καί ελαχίστης τιμής- είναι η στροφή τών αξόνων κατά $\it{\pi/4}$ ( 'εξαφανίζεται' τό γινόμενο $\it{xy}$ από τόν τύπο τής $\it{f}$ ).
Παρακάτω δίνεται μιά αναλυτική εύρεση τόσο τής μεγίστης καί ελαχίστης τιμής τής $\it{f}$ , όσο καί τών ακροτάτων της.

ΛΥΣΗ: $f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,;$ $f(x,y)=e^{-x^2-y^2-xy+1}$ , $A=\left\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2:\,1\leq{x^2+y^2}\leq4}\right\}$ .
Επειδή $\nabla{f}=\left({({-2x-y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1},\,({-x-2y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}}\right)\neq({0,0})$ , γιά κάθε $({x,y})\neq({0,0})$ , δέν είναι δυνατόν νά παρουσιάζει ακρότατα σέ εσωτερικό σημείο τού συνόλου

.
Αναζητούμε ακρότατα τής

στά σύνορα $D_1=\left\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1}\right\}$ καί $D_2=\left\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=4}\right\}$ τού

.

Θεωρούμε τήν συνάρτηση $F_1({x,y})=f({x,y})+\lambda_1\,({x^2+y^2-1})$ , $({x,y})\in{\mathbb{R}}^2$ .

Ο πίνακας $\left({\begin{array}{cc} \frac{\partial\left({x^2+y^2-1}\right)}{\partial{x}} &\frac{\partial\left({x^2+y^2-1}\right)}{\partial{y}} \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc} 2x & 2y \end{array}}\right)$ , γιά κάθε $({x,y})\neq({0,0})$ , έχει βαθμίδα

καί γιά τήν εύρεση τών τοπικών ακροτάτων θά χρησιμοποιηθεί η μέθοδος τών πολλαπλασιαστών $\rm{Lagrange}$ .
$\left\{{\begin{array}{r} \nabla{F_1}={\bf{0}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=1 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{r} ({-2x-y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}+2\lambda_1{x}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} ({-x-2y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}+2\lambda_1{y}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=1 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{l} x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda_1=\frac{\sqrt{e}}{2} \end{array}}\right\}$ ή $\left\{{\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda_1=\frac{3}{2\sqrt{e}} \end{array}}\right\}$ .
Ο Εσσιανός πίνακας τής F_1

, γιά $\lambda_1=\dfrac{\sqrt{e}}{2}$ στό σημείο $\left({\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ είναι ο ${\rm{H}}_1=\left({\begin {array}{cc} -\frac{\sqrt{e}}{2}&-\frac{3\sqrt{e}}{2}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} -\frac{3\sqrt{e}}{2}&-\frac{\sqrt{e}}{2} \end {array}}\right)$ .
Άν $\Omega_1=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:-\sqrt{2}\,{h_1}+\sqrt{2}\,{h_2}=0}\right\}=\left\{{\left({h_1,h_1}\right):\,h_1\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega_1$ , ισχύει $\left({h_1,h_1}\right)\cdot{\rm{H}}_1\left({\begin{array}{c} h_1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} h_1 \end{array}}\right)=-4\sqrt{e}\,h_1^2<0$ .
Άρα η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στό σημείο $\left({-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ μέ μέγιστη τιμή τήν $f\!\left({-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)=\sqrt{e}$ .
Ο Εσσιανός πίνακας τής F_1

, γιά $\lambda_1=\dfrac{3}{2\sqrt{e}}$ στό σημείο $\left({\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ είναι ο ${\rm{H}}_2=\left({\begin {array}{cc} \frac{11}{2\sqrt{e}}&\frac{7}{2\sqrt{e}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{7}{2\sqrt{e}}&\frac{11}{2\sqrt{e}} \end {array}}\right)$ .
Άν $\Omega_2=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:\sqrt{2}\,{h_1}+\sqrt{2}\,{h_2}=0}\right\}=\left\{{\left({h_1,-h_1}\right):\,h_1\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega_2$ , ισχύει $\left({h_1,-h_1}\right)\cdot{\rm{H}}_2\left({\begin{array}{c} h_1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} -h_1 \end{array}}\right)=\dfrac{4}{\sqrt{e}}\,h_1^2>0$ .
Άρα η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στό σημείο $\left({\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ μέ ελάχιστη τιμή τήν $f\!\left({\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ .

Θεωρούμε τήν συνάρτηση $F_2({x,y})=f({x,y})+\lambda_2\,({x^2+y^2-4})$ , $({x,y})\in{\mathbb{R}}^2$ .

Ο πίνακας $\left({\begin{array}{cc} \frac{\partial\left({x^2+y^2-4}\right)}{\partial{x}} &\frac{\partial\left({x^2+y^2-4}\right)}{\partial{y}} \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc} 2x & 2y \end{array}}\right)$ , γιά κάθε $({x,y})\neq({0,0})$ , έχει βαθμίδα

καί γιά τήν εύρεση τών τοπικών ακροτάτων θά χρησιμοποιηθεί η μέθοδος τών πολλαπλασιαστών $\rm{Lagrange}$ .
$\left\{{\begin{array}{r} \nabla{F_2}={\bf{0}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=4 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{r} ({-2x-y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}+2\lambda_2{x}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} ({-x-2y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}+2\lambda_2{y}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=4 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{l} x=-\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda_2=\frac{1}{2e} \end{array}}\right\}$ ή $\left\{{\begin{array}{l} x=\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda_2=\frac{1}{2e^5} \end{array}}\right\}$ .
Ο Εσσιανός πίνακας τής F_2

, γιά $\lambda_2=\dfrac{1}{2e}$ στό σημείο $\bigl({-\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)$ είναι ο ${\rm{H}}_3=\left({\begin {array}{rr} \frac{1}{e} & -\frac{3}{e}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} -\frac{3}{e} & \frac{1}{e} \end {array}}\right)$ .
Άν $\Omega_3=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:-2\sqrt{2}\,{h_1}+2\sqrt{2}\,{h_2}=0}\right\}=\left\{{\left({h_1,h_1}\right):\,h_1\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega_3$ , ισχύει $\left({h_1,h_1}\right)\cdot{\rm{H}}_3\left({\begin{array}{c} h_1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} h_1 \end{array}}\right)=-\dfrac{4}{e}\,h_1^2<0$ .
Άρα η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στό σημείο $\bigl({-\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)$ μέ μέγιστη τιμή τήν $f\bigl({-\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)=\dfrac{1}{e}$ .
Ο Εσσιανός πίνακας τής F_2

, γιά $\lambda_2=\dfrac{1}{2e^5}$ στό σημείο $\bigl({\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)$ είναι ο ${\rm{H}}_4=\left({\begin {array}{cc} \frac{19}{e^5} & \frac{17}{e^5}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \frac{17}{e^5} & \frac{19}{e^5} \end {array}}\right)$ .
Άν $\Omega_4=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:2\sqrt{2}\,{h_1}+2\sqrt{2}\,{h_2}=0}\right\}=\left\{{\left({h_1,-h_1}\right):\,h_1\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega_4$ , ισχύει $\left({h_1,-h_1}\right)\cdot{\rm{H}}_4\left({\begin{array}{c} h_1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} -h_1 \end{array}}\right)=\dfrac{4}{e^5}\,h_1^2>0$ .
Άρα η

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στό σημείο $\bigl({\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)$ μέ ελάχιστη τιμή τήν $f\bigl({\sqrt{2},\sqrt{2}\,}\bigr)=\dfrac{1}{e^5}$ .
Από τά παραπάνω προκύπτει ότι η ελάχιστη καί μέγιστη τιμή τής

στό σύνολο

είναι η $\dfrac{1}{e^5}$ καί $\sqrt{e}$ , αντίστοιχα. $\square$

Παρακάτω στό 1ο διάγραμμα παριστάνεται η $\it{f}$ σάν επιφάνεια καί στό 2ο διάγραμμα παριστάνεται τό $\it{\nabla{f}}$ ( ανάδελτα τής $\it{f}$ )

: min-max_contions_f.jpg (25.55 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

: min-max_contions_gradf.jpg (14.89 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Ωmega Man · #4

Συγνώμη τα είδα φευγαλέα..........μήπως να βάλεις και ένα contour;

#5

Ωmega Man έγραψε:Γρηγόρη το δεύτερο σχήμα τι δείχνει ακριβώς; Μήπως θα έπρεπε να βάλεις κανένα contourplot να φανεί καλύτερα;

Γιώργο,

στό 2ο διάγραμμα είναι τό $\nabla{f}=\left({({-2x-y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1},\,({-x-2y})\,e^{-x^2-xy-y^2+1}}\right)$ καί επέλεξα νά τό παραστήσω στό επίπεδο $x\,y$ , αφού είναι πεδίο δύο μεταβλητών καί αυτό πού ενδιαφέρει είναι η σημείωση τής κατεύθυνσης τής μεγίστης μεταβολής τής

. Όσο γιά τό contour θά τό κοιτάξω...

Ωmega Man · #6

Ναι αν δεις το διόρθωσα είχα κολλήσει στην λύση και δεν είδα πάνω από την εικόνα

.
Κάτι τέτοιο εννοούσα με το contour. Προφανώς στο κέντρο (κόκκινο) παίρνει την max τιμή $\displaystyle{\bf e}$ .

#7

Ωmega Man έγραψε:....Προφανώς στο κέντρο (κόκκινο) παίρνει την max τιμή $\displaystyle{\bf e}$ .

Γιώργο,

πρός αποφυγή παρανόησης, νά σημειώσω ότι η μέγιστη τιμή f({0,0})=e

πού αναφέρεις δέν αφορά τήν μέγιστη τιμή τής $f\,|_{A}$ , πού ζητάει η άσκηση, αλλά τήν μέγιστη τιμή τής

στό ${\mathbb{R}}^2$

Ωmega Man · #8

Ναι δεν αφορά την άσκηση.....έχει να κάνει με ακρότατα γενικά.

Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Re: Μέγιστη καί ελάχιστη τιμή υπό συνθήκες

Μέλη σε σύνδεση