Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

#1

Σαν συνέχεια του ποστ εδώ, ας υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{I:=\int\frac{x^{4}-1}{(x^{4}+6x^{2}+1)\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}\,dx}$ .

mathxl · #2

Μία προσέγγιση κομματάκι μικρή

$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \displaystyle\int \frac{{{x^4} - 1}}{{({x^4} + 6{x^2} + 1)\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} }}\,dx = \\ \displaystyle\int \frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right)dx}}{{\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + 4} \right]\sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }}\mathop = \limits_{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = du}^{x + \frac{1}{x} = u} \\ \displaystyle\int \frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right)dx}}{{\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + 4} \right]\sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \displaystyle\int {\frac{{udu}}{{\left( {{u^2} + 4} \right)\sqrt {{u^2} - 1} }}\mathop = \limits_{2udu = dt}^{{u^2} = t} } \\ \frac{1}{2}\displaystyle\int {\frac{{dt}}{{\left( {t + 4} \right)\sqrt {t - 1} }}\mathop = \limits_{dt = 2kdk}^{\sqrt {t - 1} = k \Rightarrow t = {k^2} + 1} } \\ \displaystyle\int {\frac{{kdk}}{{\left( {{k^2} + 5} \right)k}} = } \\ \frac{1}{5}\int {\frac{{dk}}{{{{\left( {\frac{k}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} + 1}} = } \frac{{\sqrt 5 }}{5}\arctan \left( {\frac{k}{{\sqrt 5 }}} \right) + c \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 }}{5}\arctan \left( {\frac{{\sqrt {t - 1} }}{{\sqrt 5 }}} \right) + c = \\ = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 }}{5}\arctan \left( {\frac{{\sqrt {{u^2} - 1} }}{{\sqrt 5 }}} \right) + c = \\ = \displaystyle\frac{{\sqrt 5 }}{5}\arctan \left( {\frac{{\sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1} }}{{\sqrt 5 }}} \right) + c \\ \end{array}}$

Ύστερα από ανταλλαγή μηνυμάτων με τον Τάσο, βλέπω ότι ο αποτέλεσμα που δίνω ισχύει για χ > 0 γιατί έβγαλα το |χ| ως χ έξω από την ρίζα, χρειάζεται και δεύτερη περίπτωση για χ < 0. Μπορούμε να αποφύγουμε την διερεύνηση με άλλη αντικατάσταση;

#3

φίνος ο μπάρμπας

mathxl · #4

Να και η αντικατάσταση για όλο τον Rούλη http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t ... 9d9e302366

#5

Ωραίος και αυτός ο μπάρμπας!! Και το εύλογο ερώτημα: Υπάρχει πάντοτε αντικατάσταση που να αποφεύγει την ασυνέχεια σε τέτοιες περιπτώσεις.....;

Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Re: Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Re: Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Re: Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Re: Ολοκλήρωμα με ρίζα τεταρτοβάθμιου

Μέλη σε σύνδεση