Παραγωγίσιμη συνάρτηση

#1

Χαιρετώ όλους τους φίλους και εύχομαι για τους εορτάζοντες τα καλύτερα
Επανεφέρω το δεύτερο ερώτημα ενός προβλήματος, το οποίο είχα αναρτήσει πριν από έναν περίπου μήνα και δεν έχω πάρει απάντηση (ίσως ξεχάστηκε). Σημειώνω πως δεν έχω λύση
Έστω συνάρτηση $f:[a,b] \rightarrow R$ , παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, η οποία δεν έχει κοινές ρίζες με την

. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση $g:[a,b] \rightarrow R$ , επίσης παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο, ώστε η fg'-gf'

να είναι θετική στο [a,b]

Υ.Γ Αναστάση από το γνωστό κίτρινο βιβλίο!

mtsarduckas · #2

Καλημέρα στο φόρουμ και χρόνια πολλά στους εορτάζοντες. Με μια πρόχειρη ματιά, η $f-f \prime$ διατηρεί πρόσημο στο [a,b]

. Αν $f-f \prime >0$ ,ορίζουμε g(x)=e^x

. Αν $f-f \prime <0$ ορίζουμε $g(x)=-e^{x}$ . Και στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. Πολύ απλή μου φαίνεται η λύση οπότε μάλλον καποιον λάθος θα έχω κάνει...

Διόρθωση στον ορισμό της g(x) - Thanks s.kap!

#3

Φίλε μου σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες. Πράγματι είναι απλό, αλλά στα απλά πολλές φορές "κολλάμε". Να κάνω μία παρατήρηση-αποκατάσταση. Νομίζω πως στη δεύτερη περίπτωση η συνάρτηση που πρέπει να πάρουμε είναι η g(x)=-e^x

και όχι η $g(x)=e^{-x}$ .
Ευχαριστώ και πάλι

mtsarduckas · #4

Ωπ! Απροσεξία λόγω βιασύνης! Ευχαριστώ πολύ για την διόρθωση φίλε μου!

Μιχάλης

Καραδήμας · #5

Η

δεν έχει κοινές ρίζες με την $f^{\prime }(x)=3x^2-1$ στο [-1000,1000]

. Όμως η $g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)=x^3-3x^2-x+1$ δεν διατηρεί πρόσημο: g(0)=1

και

.

#6

Κύριε Καραδήμα, έχεις δίκιο. Για να "δουλέψει" η απόδειξη του Μιχάλη δεν αρκεί να μην έχουν κοινές ρίζες η συνάρτηση με την παράγωγο, αρκεί να μην υπάρχει

, τέτοιο ώστε f'(c)=f(c)

, το οποίο τα δεδομένα δεν εξασφαλίζουν. Συνεπώς το πρόβλημα δεν είναι τόσο απλό, όπως βιαστικά και εγώ να συμπεράνω. Έχεις κάποια λύση;
Με εκτίμηση

Καραδήμας · #7

Όταν το πρωτοείδα το πρόβλημα, δεν μπόρεσα να φτιάξω το δεύτερο ερώτημα. Να το ξαναδούμε. Πάντως θα χρειαστεί ίσως και το πρώτο, ότι δηλαδή οι ρίζες της

είναι πεπερασμένες.

Στάθης

#8

Καραδήμας έγραψε:Όταν το πρωτοείδα το πρόβλημα, δεν μπόρεσα να φτιάξω το δεύτερο ερώτημα. Να το ξαναδούμε. Πάντως θα χρειαστεί ίσως και το πρώτο, ότι δηλαδή οι ρίζες της είναι πεπερασμένες.

Στάθης

Έχεις δίκιο Στάθη, πρέπει να λάβουμε υπ' όψη μας, ότι το σύνολο των σημείων μηδενισμού της

είναι πεπερασμένο. (Επαναλαμβάνω την απόδειξη, γιατί δεν έμαθα ακόμη να κάνω παραπομπές-το έχει ήδη αποδείξει ο Στάθης σε παλιότερη δημοσίευση)
Αν τα σημεία μηδενισμού της

ήταν τα $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$ , τότε, από Rolle, θα υπήρχαν σημεία $t_{1},t_{2},...,t_{n},...$ με $x_{1}<t_{1}<x_{2}<...<t_{n-1}<x_{n}<...$ , που θα μηδένιζαν την $f^\prime$ . Αλλά επειδή $x_{n} \rightarrow x_{0} \in [a,b]$ θα είχαμε και $t_{n} \rightarrow x_{0}$ , συνεπώς από τη συνέχεια $0=f(x_{n}) \rightarrow f(x_{0})$ και $0=f^\prime(t_{n}) \rightarrow f^\prime(x_{0})$ , οπότε $f(x_{0})=f^\prime (x_{0})=0$ , άτοπο.
Έστω

το πεπερασμένο σύνολο σημείων μηδενισμού της

. Από την υπόθεση σε κανένα σημείο του

δεν μηδενίζεται η $f^\prime$ . Συνεπώς υπάρχει πολυώνυμο p(x)

(

βαθμού) ώστε $f^\prime(x)p(x)=-1, \forall x\in A$ . (Δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί)
Αν a>0

, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=xf(x)+ap(x)

, οπότε $g^\prime(x)f(x)-f^\prime(x)g(x)=f^2(x)+a[f(x)p^\prime(x)-f^\prime(x)p(x)]=h(x)$
Προφανώς $h(x)>0, \forall x \in A$ και κατ' επέκτασιν, επειδή η

είναι συνεχής, η παραπάνω σχέση θα ισχύει και σε ένα ανοικτό σύνολο

του

, που περιέχει το

.
Υπάρχει θετικός

ώστε: $|f(x)p^\prime(x)-f^\prime(x)p(x)|\leq M, \forallx \in[a,b]$
Επιπλέον το σύνολο [a,b]-S

είναι κλειστό υποσύνολο του συμπαγούς [a,b]

, άρα συμπαγές και επειδή η f^2

είναι θετική και συνεχής το f^2([a,b]-S)

έχει ελάχιστο έναν θετικό αριθμό

. Επιλέγουμε το

ώστε $0<a<\frac {m}{M}$ και έχουμε
$h(x)>m-a|f(x)g^\prime(x)-f^\prime(x)g(x)|>m-aM>0, \forall x\in [a,b]-S$ και
$h(x)=-af^\prime(x)p(x)=a>0, \forall x \in S$ , άρα $h(x)>0, \forall x \in [a,b]$ , οπότε η

είναι η ζητούμενη συνάρτηση.

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση