Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (2)

Tolaso J Kos · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n-1}}{n^2} \sin \left( \frac{n \pi}{3} \right)= 0}$ .

Δεν έχω λύση.

galactus · #2

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^{2}}\sin(\pi n/3)\neq 0}$

$\displaystyle{1. \;\ H_{n-1}=H_{n}-\frac{1}{n}}$

$\displaystyle{2. \;\ Cl_{2}(\pi/3)=\Im Li_{2}(e^{\pi i/3})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi n/3)}{n^{2}}}$

$\displaystyle{3. \;\ \Im Li_{3}(e^{\pi i/3})=\frac{5\pi^{3}}{162}}$

$\displaystyle{4. \;\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}\sin(\pi n/3)=Cl_{2}(\pi/3)}$

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\frac{H_{n-1}}{n^{2}}\sin(\pi n/3)=\sum_{n=1}\frac{H_{n}-1/n}{n^{2}}\sin(\pi n/3)}$

$\displaystyle{=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n^{2}}\sin(\pi n/3)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi n/3)}{n^{3}}}$

$\displaystyle{\frac{11\pi^{3}}{324}-\frac{5\pi^{3}}{162}=\boxed{\frac{\pi^{3}}{324}}}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

από

$\displaystyle{\sum_{n=1}\left(\frac{nH_{n}-1}{n^{2}}\right)\sin(\pi n/3)}$

$\displaystyle{=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{H_{n}}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)\sin(\pi n/3)}$

$\displaystyle{=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n}\sin(\pi n/3)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(\pi n/3)}{n^{2}}}$

$\displaystyle{=Cl_{2}(\pi/3)-Cl_{2}(\pi/3)=0}$

και

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}-1}{n^{2}}\sin(\pi n/3)=\frac{5\pi^{3}}{162}-Cl_{2}(\pi/3)}$

Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (2)

Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (2)

Re: Τριγωνομετρικό άθροισμα Euler (2)

Μέλη σε σύνδεση