Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

#1

Ας λυθεί η ακόλουθη εξίσωση:

$\displaystyle\int_{0}^{x}t^{\frac{8}{3}}(1-t)^{\frac{4}{3}}\,dt=\int_{0}^{1}t^{\frac{8}{3}}(1+t)^{\color{red}-\color{black}6}\,dt$ .

Edit: (11:31) Άλλαξα ένα πρόσημο στην εκφώνηση.

#2

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας λυθεί η ακόλουθη εξίσωση:

$\displaystyle\int_{0}^{x}t^{\frac{8}{3}}(1-t)^{\frac{4}{3}}\,dt=\int_{0}^{1}t^{\frac{8}{3}}(1+t)^{6}\,dt$ .

Μετά την απόδειξη του αδυνάτου από τον Σεραφείμ, μπορούμε να πάμε ένα βήμα ακόμα: Αποδεικνύεται ότι για κάθε χ στο πεδίο ορισμού [0,1] του αριστερού ολοκληρώματος, ισχύει

$\displaystyle\int_{0}^{x}t^{\frac{8}{3}}(1-t)^{\frac{4}{3}}\,dt < 1 < 9 < \int_{0}^{1}t^{\frac{8}{3}}(1+t)^{6}\,dt$ .

Δηλαδή τα ολοκληρώματα είναι "μακριά το ένα από το άλλο για να έχουν κοινές τιμές".

Αν αλλάξουμε λίγο την άσκηση του Αναστάση (ένα πρόσημο όλο και όλο) αλλάζει το πράγμα: Να αποδειχθεί ότι η

$\displaystyle\int_{0}^{x}t^{\frac{8}{3}}(1-t)^{\frac{4}{3}}\,dt=\int_{0}^{1}t^{\frac{8}{3}}(1-t)^{6}\,dt$

έχει λύση στο [2/10, 4/10].

(Δεν ξέρω αν μπορεί να βρεθεί ακριβώς η λύση. Δεν το κοίταξα. Εργάστηκα μόνο με ανισώσεις.)

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Σεραφείμ έγραψε:..

Κάποιο λαθάκι θα πρέπει να έχει γίνει στις πράξεις. Η μέθοδος όμως είναι σωστή. Η εξίσωση νομίζω πως έχει μοναδική ρίζα το $\ldots$ .

Μου κάνει εντύπωση πως γίνεται και δυο διαφορετικές πηγές έχουν την εκφώνηση λάθος....Η εκφώνηση διορθώθηκε...

Ζητώ συγνώμη..

Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

Re: Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

Re: Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

Re: Εξίσωση με Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση