Συναρτησιακή

[MANOLISMATHS]

Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής.
Έστω ότι έχω τον χώρο όλων των συναρτήσεων
Συνηθίζεται πολύ να μπαίνει ένας τέτοιος χώρος στην μελέτη των διανυσματικών χώρων.
Υπάρχει τρόπος να την προσδιορίσουμε με κάποιο τρόπο κάτι παραπάνω από το ότι είναι περιττή.Έχουν κάποια μορφή κλειστή ή κάποια εναλλακτική περιγραφή?

Αν λοιπόν έλεγα να βρεθούν όλες οι , τι λύση θα μπορούσαμε να δώσουμε?

[Mihalis_Lambrou]

Θα ήθελα να ρωτήσω το εξής.
Έστω ότι έχω τον χώρο όλων των συναρτήσεων
Συνηθίζεται πολύ να μπαίνει ένας τέτοιος χώρος στην μελέτη των διανυσματικών χώρων.
Υπάρχει τρόπος να την προσδιορίσουμε με κάποιο τρόπο κάτι παραπάνω από το ότι είναι περιττή.Έχουν κάποια μορφή κλειστή ή κάποια εναλλακτική περιγραφή?

Αν λοιπόν έλεγα να βρεθούν όλες οι , τι λύση θα μπορούσαμε να δώσουμε?

Πρώτα από όλα δεν είναι σωστό ότι είναι περιττή.

Πέρα από αυτό, ας μείνουμε μόνο στις συνεχείς.

Δεν μπορούμε να περιγράψουμε τις συναρτήσεις αυτές, δηλαδή τις συνεχείς με , γιατί είναι πολλές (έχουν το ίδιο πληθάριθμο με όλες τις συνεχείς).

Ένας τρόπος να δούμε ότι δεν αναμένουμε άλλη περιγραφή των εν λόγω συναρτήσεως, πέρα από την δοθείσα, είναι ο εξής: Παίρνουμε οποιαδήποτε (μα οποιαδήποτε) συνεχή συνάρτηση που ορίζεται στο , όπου τυχαίο. Εύκολα μπορούμε να επεκτείνουμε την σε όλο το ώστε να παραμένει συνεχής και να ισχύει η .

Αντιλαμβάνεται κανείς ότι δεν αναμένουμε περιγραφή όλων των γιατί θα είχαμε περιγραφή όλων των συνεχών.

Νομίζω ότι η περιγραφή , είναι αρκετά απλή που δεν έχει νόημα να ψάξουμε άλλη περιγραφή.

Μ.

[MANOLISMATHS]

Σας ευχαριστώ πολύ.
Αν επιτρέπεται, πως αποδεικνύεται το επιχείρημα σας για τον πληθάριθμο
Βάση μπορώ να βρω?

[Mihalis_Lambrou]

πως αποδεικνύεται το επιχείρημα σας για τον πληθάριθμο
Βάση μπορώ να βρω?

Οι συνεχείς συναρτήσεις στο με την εν λόγω ιδιότητα έχουν βέβαια πληθάριθμο μικρότερο ή ίσο από τον πληθάριθμο όλων των συνεχών στο . Αντίστροφα, οι συνεχείς συναρτήσεις στο είναι ισοπληθικές με τις συνεχείς στο (και τα δύο σύνολα ) . Τώρα, για κάθε συνεχή συνάρτηση στο φτιάχνουμε (με το επιχείρημα στο προηγούμενο ποστ) μία συνεχή συνάρτηση με την εν λόγω ιδιότητα. Άρα οι συνεχείς συναρτήσεις έχουν πληθάριθμο μικρότερο ή ίσο από τις εν λόγω. Από Schroeder-Bernstein οι πληθάριθμοι είναι ίσοι.

Για βάση, δεν το έχω σκεφτεί αλλά πρέπει να ξεκαθαρίσεις περί τι βάσης συζητάς, Hamel ή Schauder; Για Schauder είναι πιο ενδιαφέρον γιατί με τη οι συναρτήσεις αυτές είναι χώρος Banach, ως κλειστός υπόχωρος του .

Φιλικά,

Μιχάλης

[MANOLISMATHS]

Να ομολογήσω ότι η απορία μου ξεκίνησε από το εξής είναι εφικτό να λύσουμε την εξίσωση
, αν g είναι πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού και ??
Μπορώ δηλαδή να βρω ορθογώνιες συναρτήσεις όπως τα ορθογώνια διανύσματα . Υπάρχει κάποια βάση για να κάνω ορθογώνια περιγραφή?

[Mihalis_Lambrou]

Να ομολογήσω ότι η απορία μου ξεκίνησε από το εξής είναι εφικτό να λύσουμε την εξίσωση
Αν g είναι πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού και
Μπορώ δηλαδή να βρω ορθογώνιες συναρτήσεις όπως τα ορθογώνια διανύσματα . Υπάρχει κάποια βάση για να κάνω περιγραφή?

Η ερώτηση είναι ασαφής γιατί δεν μας λες τι δίνεται και τι ζητάμε (λείπουν οι ποσοδείκτες). Συγκεκριμένα, ζητάς

α) Έστω δοθέν πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού. Να βρεθούν όλες οι συνεχείς που είναι ορθογώνιες στην ,

ή μήπως

β) Να βρεθούν οι που είναι ορθογώνιες σε όλα τα πολυώνυμα το πολύ πρώτου βαθμού,

ή μήπως

γ) Έστω συνεχής συνάρτηση. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα το πολύ πρώτου βαθμού που είναι ορθογώνια στην ,

ή μήπως ... ή μήπως ...


Μ.

[MANOLISMATHS]

Ζητώ συγγνώμη.

Πραγματικά είναι η πρώτη φορά που είδα πόσο κακό γίνεται όταν δεν είναι σαφείς οι ποσοδείκτες.

Μιλάω για το πρώτο δηλαδή έστω Πείτε το g(x)=1,x,x+1,2x+3.Κάτι συγκεκριμένο. Μπορούμε να βρούμε όλες τις που είναι ορθογώνιες με το εσωτερικό γινόμενο αυτό που όρισα.