Άπειρο προϊόν

thepathofresistance · #1

Υπολογίστε το ακόλουθο προϊόν

$\displaystyle{ \prod\limits_{n = 2}^{ + \infty } {\left( {\frac{{n^2 - 1}} {{n^2 }}} \right)^{n^2 } } \left( {\frac{{2n + 1}} {{2n - 1}}} \right)^n = \frac{{\pi \sqrt 2 }} {6} }$

#2

Ενδιαφέρον προϊόν!

Κάπου κάνω λάθος γιατί στην τελική παράσταση το wolfram δίνει άπειρο, αλλά δεν το βλέπω. Η λογική όμως είναι η εξής:

$\begin{aligned}\prod_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n^2}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n&=\lim_{N\to+\infty}\prod_{n=2}^N\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n^2}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n \\&=\lim_{N\to+\infty}\prod_{n=2}^N\frac{(n-1)^{(n-1)^2}}{n^{n^2}}\frac{(n+1)^{(n+1)^2}}{n^{n^2}}\left(\frac{(n-1)^{n-1}}{(n+1)^{n+1}}\right)^2(n-1)(n+1)\frac{(2n+1)^{n+1}}{(2n-1)^n}\cdot\frac{1}{2n+1}\\&=\lim_{N\to+\infty}\frac{(N+1)^{(N+1)^2}}{2^{2^2}N^{N^2}}\frac{(N-1)!(N+1)!}{2(N+1)^{2N+2}}\frac{(2N+1)^{N+1}2^NN!}{3(2N+1)!}\end{aligned}$

και μετά Stirling.

Άπειρο προϊόν

Άπειρο προϊόν

Re: Άπειρο προϊόν

Μέλη σε σύνδεση