Όριο με τη συνάρτηση Γάμμα

#1

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(n+1)\sqrt[n+1]{\Gamma\left(\frac{1}{n+1}\right)}-n\sqrt[n]{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(n+1)\sqrt[n+1]{\Gamma\left(\frac{1}{n+1}\right)}-n\sqrt[n]{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)}}$ .

Για $\displaystyle{\left| z \right| < 1}$ ισχύει ο ασυμπτωτικός τύπος $\displaystyle{\Gamma \left( z \right) = \frac{1}{z} - \gamma + \frac{1}{6}\left( {3{\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right)z + O\left( {{z^2}} \right)}$ http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
Τότε $\displaystyle{\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right) = n - \gamma + \frac{1}{6}\left( {3{\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right)\frac{1}{n} + O\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right) = n - \gamma + O\left( {\frac{1}{n}} \right)}$ .

Επομένως $\displaystyle{{\left( {\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)^{1/n}} = {\left( {n - \gamma + O\left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)^{1/n}} = {n^{1/n}} + \frac{1}{n} \cdot {n^{\left( {1/n} \right) - 1}}\left( { - \gamma + O\left( {\frac{1}{n}} \right)} \right) + .. = {n^{1/n}}\left( {1 + {\rm O}\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right)}$

Τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\left( {n + 1} \right){{\left( {\Gamma \left( {\frac{1}{{n + 1}}} \right)} \right)}^{1/\left( {n + 1} \right)}} - n{{\left( {\Gamma \left( {\frac{1}{n}} \right)} \right)}^{1/n}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}}\left( {1 + {\rm O}\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right)} \right) - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}\left( {1 + {\rm O}\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right)} \right) = }$

$\displaystyle{ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} + {\rm O}\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n/\left( {n + 1} \right)}}}}} \right) - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}} - {\rm O}\left( {\frac{1}{{{n^{\left( {n - 1} \right)/n}}}}} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}} \right) = 1}$ .

Ο υπολογισμός του ορίου $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}} \right) = 1}$ είναι εξαιρετικά επίπονος ..

$\displaystyle{{\left( {n + 1} \right)^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}} = {n^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} + \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \cdot {n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \cdot \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {n^{ - \dfrac{n}{{n + 1}}}} + ... - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}} = }$

$\displaystyle{ = {n^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} + \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \cdot {n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} + O\left( {\dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{{\left( {n + 1} \right)}^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} + \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}} \cdot {n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = 1 + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n^{\dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{{n + 1}}{n}}}} \right) = 1 + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\left( {{n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} - {n^{\dfrac{1}{n}}}} \right) = 1 + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n \cdot {n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}}\left( {1 - {n^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = 1 + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{{1 - {n^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}}}}{{{n^{ - \dfrac{{n + 2}}{{n + 1}}}}}}} \right) = \mathop = \limits^{0/0} = 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\dfrac{{1 - {x^{\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}}}}}{{{x^{ - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}}}}}} \right) = ... = 1}$ (πλέον κλασσικά).

#3

Καλησπέρα. Το πρόβλημα είναι από το τρέχον τεύχος του Reflections (σελ. 19). Στη δημοσιευμένη λύση, απλά αποδεικνύουν τον ασυμπτωτικό τύπο. Και γω με δεδομένο το

$\displaystyle{\Gamma(1/n)=n-\gamma+\mathcal O(n^{-1})\qquad *}$

το έκανα. Νομίζω βγαίνει ελαφρώς απλούστερα.

Συγκεκριμένα

$\displaystyle{\begin{aligned}\sqrt[n+1]{\Gamma\left(\frac{1}{n+1}\right)}&=\exp\left(\frac{1}{n+1}\ln\Gamma\left(\frac{1}{n+1}\right)\right) \notag \\ &\stackrel{*}{=}\exp\left(\frac{1}{n+1}\ln\left(n+1-\gamma+\mathcal O(n^{-1})\right)\right) \notag \\ &=\exp\left(\left(\frac{1}{n}+\mathcal O(n^{-1})\right)\left(\ln n+\ln\left(1+\frac{1-\gamma}{n}+\mathcal O(n^{-2})\right)\right)\right) \notag \\ &=\exp\left(\left(\frac{1}{n}+\mathcal O(n^{-1})\right)\left(\ln n+\frac{1-\gamma}{n}+\mathcal O(n^{-2})\right)\right) \notag \\ &=\exp\left(\frac{\ln n}{n}+\mathcal O(n^{-2}\ln n )\right) \notag\\ &= 1+\frac{\ln n}{n}+\mathcal O(n^{-2}\ln^2n)\end{aligned}}$

και πολλαπλασιάζουμε με n+1

. Αντίστοιχα για τον άλλο όρο και αφαιρούμε.

Όριο με τη συνάρτηση Γάμμα

Όριο με τη συνάρτηση Γάμμα

Re: Όριο με τη συνάρτηση Γάμμα

Re: Όριο με τη συνάρτηση Γάμμα

Μέλη σε σύνδεση