κλειστός τύπος αθροίσματος

jim · #1

Να βρεθεί ο κλειστός τύπος του αθροίσματος:

$\sum_{j=1}^{n}{\sum_{i=0}^{\propto }{j^{5/3}}}(1-\frac{1}{2j^{1/3}})^{i}$

Καμιά βοήθεια;

#2

jim έγραψε:Να βρεθεί ο κλειστός τύπος του αθροίσματος:

$\sum_{j=1}^{n}{\sum_{i=0}^{\propto }{j^{5/3}}}(1-\frac{1}{2j^{1/3}})^{i}$

Καμιά βοήθεια;

Υπόδειξη: Βγάλε το $j^{5/3}$ έξω από το μέσα άθροισμα. Μένει άπειρη γεωμετρική πρόοδος της μορφής $\displaystyle{\sum x^i}$ . Έχουμε τύπο.
Μετά τις απλοποιήσεις, ανάγεται στο να βρεις το (γνωστό) $\displaystyle{\sum_{j=1}^n j^2}$ .

M.

jim · #3

Καταρχάς ευχαριστώ για την απάντηση!

Με το $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\propto }{x^{i}}=\frac{1}{1-x}}$ κάνοντας απλοποιήσεις προκύπτει: $\displaystyle{2\sum_{j=1}^{n}{j^{2}}}$ και με τη μέθοδο ολοκλήρωσης προκύπτει ότι: $\displaystyle{\frac{n^{3}}{3}\leq \sum_{j=1}^{n}{j^{2}} \leq \frac{(n+1)^{3}}{3}-\frac{1}{3}}$ . Ποιος είναι όμως ο τύπος του $\displaystyle{\sum_{j=1}^n j^2}$ ;

vzf · #4

viewtopic.php?f=109&t=15309&p=80226#p80226

κλειστός τύπος αθροίσματος

κλειστός τύπος αθροίσματος

Re: κλειστός τύπος αθροίσμτος

Re: κλειστός τύπος αθροίσμτος

Re: κλειστός τύπος αθροίσμτος

Μέλη σε σύνδεση