Διανυσματική Ανάλυση

mostel · #1

Παραθέτω τα θέματα που μας έβαλαν στο 2ο εξάμηνο (Πολυτεχνική σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών, Α.Π.Θ.), στη Διανυσματική Ανάλυση. Διάρκεια της εξέτασης είναι 1-1,5 ώρες. (Την άλλη μία ώρα γράφαμε λογισμό πολλών μεταβλητών).

Θέμα 1

Εάν η περιστροφή $\nabla\times F$ ενός πεδίου στο χώρο R^3

είναι σταθερή αλλά μη μηδενική, δείξτε ότι υπάρχει επίπεδο $P\subset R^3$ , τέτοιο ώστε για κάθε καμπύλη $\gamma$ που ανήκει στο

:

$\displaystyle{\oint_{\gamma}F\cdot dx = 0}$

Για το συγκεκριμένο πεδίο F=-yi+(x-2z)j+(y-3z)k

, να υπολογιστεί η περιστροφή και να βρεθεί επίπεδο όπου επικαμπύλια ολοκληρώματα μηδενίζονται, όπως στο πρώτο μέρος. Τέλος, να δοθεί εξίσωση του επιπέδου μέγιστης περιστροφής που περνά από το σημείο r=i+2j

.

Θέμα 2

Δείξτε ότι εάν το διανυσματικό πεδίο F είναι της μορφής:

F(r)=f(|r|)r

όπου

είναι συνάρτηση που ορίζεται παντού στο χώρο, τότε υπάρχει πάντοτε συνάρτηση δυναμικού, δηλαδή βαθμωτή συνάρτηση $\phi$ , τέτοια ώστε $F=\nabla\phi$ .

Να υπολογιστεί επίσης η συνάρτηση δυναμικού για την επιλογή αρχικού σημείου r_0=0

και, για κάθε $r\neq 0$ , η διαδρομή ολοκλήρωσης να είναι το ευθύγραμμο τμήμα από το αρχικό στο τελικό σημείο.

Θέμα 3

Σωστό ή λάθος και υπό ποιες συνθήκες:

για $\Sigma$ απλή, κλειστή καμπύλη και

διανυσματικό πεδίο,

$\displaystyle{\bigcirc \hspace{-1.4em} \int \hspace{-.8em} \int\nabla\times F\cdot ndS=0}.$

Θεωρούμε την παραμέτρηση:

$r(\theta,u)=\left(\begin{tabular}{c} \cos\theta\\ \sin\theta\\ 0\end{tabular}\right)+u\left(\begin{tabular}{c}-\cos\theta\\-\sin\theta\\1\end{tabular}\right)$

με $\theta\in[0,2\pi]$ και $u\in[0,2]$ . Δίνει η παραμέτρηση αυτή λεία επιφάνεια και, εάν όχι, ποια σημεία πρέπει να αποκλειστούν; Επαληθεύστε ότι η εικόνα της παραμέτρησης στο χώρο ανήκει στην επιφάνεια:

(z-1)^2=x^2+y^2

και κάντε το σχήμα της εικόνας.

Στέλιος

Ωmega Man · #2

Στο τρίτο θέμα στο διπλό επικαμπύλιο μήπως λείπει κάτι (το F);

mostel · #3

Mancar Camoran έγραψε:Στο τρίτο θέμα στο διπλό επικαμπύλιο μήπως λείπει κάτι (το F);

Έχετε απόλυτο δίκαιο! Το διορθώνω... Τυπογραφικό λάθος!

Ευχαριστώ για την επισήμανση,

Στέλιος

Ωmega Man · #4

Το 3α είναι θεωρητικό.
Θεώρημα Stokes: Έστω (Σ,N) μία συμπαγής προσανατολισμένη επιφάνεια στον R^3

και F ένα

διαφορίσιμο Δ.Π. στον R^3

. Τότε ,
$\displaystyle\iint_{\Sigma}(\nabla\times F)\cdot N dS=\int_{\partial{\Sigma}}Fds$ .
Αν η (Σ,Ν) είναι κλειστή τότε και
$\displaystyle\iint_{\Sigma}(\nabla\times F)\cdot N ds =0$ .
Για το 3β $r(\theta,u)=[(1-u)cos(\theta),(1-u)sin(\theta),u]$ . Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους ως προς θ και u. $r_{\theta}=[(-(1-u)sin(\theta),(1-u)cos(\theta),0]$ και
$r_{u}=[(-cos(\theta),-sin(\theta),1]$ . Για u=1 παρατηρούμε ότι $r_{\theta}\times r_{u}=0$ ανεξαρτήτως ποιο θ διαλέγουμε και άρα στα σημεία (θ,1) δεν είναι λεία η επιφάνεια. Για x=(1-u)cos(θ),y=(1-u)sin(θ),z=u η ισότητα προφανώς ικανοποιείται και παριστάνει έναν κώνο με κέντρο το σημείο στον χώρο (0,0,1).
(Θα ζωγραφίσεις στο χψ επίπεδο έναν κύκλο ακτίνας 1 και έναν συμμετρικό στο επίπεδο z=2 πάλι ακτίνας 1 και θα φτιάξεις τον κώνο)

Διανυσματική Ανάλυση

Διανυσματική Ανάλυση

Re: Διανυσματική Ανάλυση

Re: Διανυσματική Ανάλυση

Re: Διανυσματική Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση