Συνάρτηση πολλών μεταβλητών

Pla.pa.s · #1

Για την $f: \mathbb R^{n} \rightarrow \mathbb R$ ισχύει
$f^{n}(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,0,...,0)f(0,x_2,...,0)...f(0,0,...,x_n)$ για κάθε $x_i \in \mathbb R$ , i=1,2,...n

.

α) Δείξτε ότι
$|f(x_1,0,...,0)|+|f(0,x_2,...,0)|+...+|f(0,0,...,x_n)| \geq n f(x_1,x_2,...,x_n)$ , για κάθε $x_i \in \mathbb R$ .

β) Δείξτε ότι η

παίρνει το πολύ τρεις τιμές.

air · #2

a) Προκύπτει από την ανισότητα AM-GM:

$|f(x_1,0,...,0)|+|f(0,x_2,...,0)|+...+|f(0,0,...,x_n)| \geq n|f(x_1,0,...,0)f(0,x_2,...,0)...f(0,0,...,x_n)|^{\frac{1}{n}}=n|f(x_1,x_2,...,x_n)|$

b) Η αρχική για

δίνει $f^n(x_1,0,...,0)=f^{n-1}(0,0,...,0)f(x_1,0,...,0)$

$\Rightarrow f(x_1,0,...,0)=0$ ή |f(x_1,0,...,0)|=|f(0,0,...,0)|=:a

Αντίστοιχα προκύπτει για κάθε $i \in {1,...,n}:f(\delta_{i1}x_1,\delta_{i2}x_2,...,\delta_{in}x_n)=0$ ή $|f(\delta_{i1}x_1,\delta_{i2}x_2,...,\delta_{in}x_n)|=a$ .

Τρεις πιθανές τιμές της f λοιπόν είναι 0,a,-a

. Έστω τώρα ότι $y\in f(\mathbb R^n)\setminus\left\{0 \right\}$ τότε από την αρχική έχουμε ότι:

$|y^n|=|a^n| \Rightarrow |y|=|a|$ . Άρα η συνάρτηση παίρνει όντως το πολύ 3 τιμές.

Συνάρτηση πολλών μεταβλητών

Συνάρτηση πολλών μεταβλητών

Re: Συνάρτηση πολλών μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση