Υπολογισμός ορίου σειράς

MANOLISMATHS · #1

Η συγκεκριμένη σειρά μου εμφανίστηκε στις πιθανότητες και θα ήθελα να μάθω πως υπολογίζεται ακριβώς το όριο της
Aν $(0<\lambda <1):\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{n}{2}\lambda^{k}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{2}\lambda^{k}=\displaystyle\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^{k}n^2- \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^{k}n \end{bmatrix}$
Είδα ότι το δεύτερο άθροισμα υπολογίζεται με μια μέθοδο γινομένων δυο σειρών που το γινόμενο των ορίων που συγκλίνουν είναι ίσο με το όριο της convolution αυτών...αλλά ήθελα να ξέρω μια γενική μέθοδο για να το βρίσκω.

Σημείωση στην άσκηση μου το $\lambda=2^{-1}$
Απλά μου φαίνεται ότι μάλλον η στρατιγική θα είναι κοινή

#2

Πρώτα από όλα υποθέτω ότι από τυπογραφική αβλεψία έχεις στο άθροισμα όρους $\lambda^k$ αλλά εννοείς $\lambda^n$ .

Αν είναι έτσι (που δεν αμφιβάλλω) το άθροισμα είναι εύκολο και γνωστό.

Υπόδειξη για το $\sum n(n-1)\lambda ^n$ . Αρχίζεις με το $\sum \lambda ^n = \frac {1}{1-\lambda}$ και το παραγωγίζεις δύο φορές. Μετά πολλαπλασιάζεις επί $\lambda ^2$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

MANOLISMATHS · #3

Σας ευχαριστώ .
Το θυμήθηκα το παράγεις με δυναμοσειρά.
$\\\displaystyle\sum_{0}^{+\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}=f(x),x\in (-1,1)\to\\ \displaystyle(\sum_{0}^{+\infty}x^{n})^{\prime\prime}=(\frac{1}{1-x})^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x),x\in (-1,1)\to\\ \displaystyle\sum_{0}^{+\infty}(x^{n})^{\prime\prime}=(\frac{1}{1-x})^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x)\to\\ x^2\cdot\displaystyle\sum_{0}^{+\infty}n(n-1)(x^{n-2})=[x^2(\frac{1}{1-x})^{\prime\prime}]$

Δεν έχω κάνει γεννήτριες συναρτήσεις αλλά επειδή έχω ακούσει ότι είναι αρκετά ισχυρή τεχνική, εδώ θα μπορούσε να παράγει γρήγορα το δυνατό αποτέλεσμα

#4

MANOLISMATHS έγραψε:...με μια μέθοδο γινομένων δυο σειρών που το γινόμενο των ορίων που συγκλίνουν είναι ίσο με το όριο της convolution αυτών...

#5

MANOLISMATHS έγραψε:<...>
$\\\displaystyle x^2\cdot\displaystyle\sum_{0}^{+\infty}n(n-1)(x^{n-2})=[x^2(\frac{1}{1-x})^{\prime\prime}]\right|_{x=\lambda}$

Μέσες άκρες σωστά, αλλά με κάποια περιττά στοιχεία. Π.χ. το $x=\lambda$ στην τελευταία γραμμή δεν έχει θέση (άλλωστε δεν έχει $\lambda$ στο αριστερό μέλος).

Μ.

MANOLISMATHS · #6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
MANOLISMATHS έγραψε:...με μια μέθοδο γινομένων δυο σειρών που το γινόμενο των ορίων που συγκλίνουν είναι ίσο με το όριο της convolution αυτών...

Όταν το πρωτο αναζήτησα στο περσινό βιβλίο της Ανάλυσης το βρήκα ως σύγκλιση γινομένου Cauchy μέσω ενός θεωρήματος του Martens..Δεν το θυμάμαι καλά...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υπολογισμός ορίου σειράς

Υπολογισμός ορίου σειράς

Re: Υπολογισμός ορίου σειράς

Re: Υπολογισμός ορίου σειράς

Re: Υπολογισμός ορίου σειράς

Re: Υπολογισμός ορίου σειράς

Re: Υπολογισμός ορίου σειράς

Μέλη σε σύνδεση