Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά

[Mihalis_Lambrou]

.
Πάνω από 250 εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά στο X (πρώην twitter) εδώ. Χωρίς λύσεις αλλά είναι σχετικά προσιτές, αν και συχνά πονηρές.

Όταν μπείτε στην ιστοσελίδα αυτή μην αμελήσετε να κατεβάσετε το αρχείο PowerPoint που η συγγραφέας έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες από τις εν λόγω ασκήσεις. Βάζω το λινκ, έτσι και αλλιώς, εδώ.

Δείγμα η παρακάτω άσκηση. Δίνεται ένα τεταρτοκύκλιο. Μπορείτε να θεωρήσεται ότι το δοθέν κόκκινο σχήμα είναι τετράγωνο με εμβαδόν αντί για που δείχνει η εικόνα. Πόσο είναι το κίτρινο εμβαδόν;

Βρήκα ότι η απάντηση αρκετά απρόσμενη. Έχω λύση λίγων γραμμών αλλά θα χαιρόμουν να έβλεπα και άλλες λύσεις.
.

kitrino emvadon.png (127.96 KiB) Προβλήθηκε 4541 φορές

Edit. Έκανα διορθώσεις στην αρχική διατύπωση.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόσθεσα μερικές λέξεις γιατί η αρχική εκφώνηση ήταν ελλειπής.

[KARKAR]

Όμορφα.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 4469 φορές

Με : μέσα των πλευρών του , το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδόν και πλευρά και

( με Π.Θ.) το μεσαίο , έχει πλευρά , δηλαδή εμβαδόν , οπότε το κίτρινο εμβαδόν ισούται με .

[Mihalis_Lambrou]

Με : μέσα των πλευρών του ...

Θανάση, δεν δίνεται ότι τα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών του. Φαίνονται με το μάτι στο σχήμα σαν να είναι μέσα, αλλά δεν τα λαμβάνουμε ως τέτοια. Το αποτέλεσμα ισχύει και χωρίς την υπόθεση ότι είναι μέσα.

[KARKAR]

Πάντως , νομίζω ότι απαιτείται κάποια επιπλέον πληροφορία π.χ ότι το μοβ είναι τετράγωνο .

Διότι φαντάζομαι ότι το ακόλουθο σχήμα δεν προβλέπεται ...

Αυτό όχι.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 4424 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Πάντως , νομίζω ότι απαιτείται κάποια επιπλέον πληροφορία π.χ ότι το μοβ είναι τετράγωνο .

Ναι, έχεις δίκιο. Το μοβ είναι τετράγωνο. Συγνώμη για την ταλαιπωρία. Έκανα τώρα την διώρθωση και στο αρχικό ποστ. Ευχαριστώ για την επισήμανση.

[Doloros]

.
Πάνω από 250 εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις σε εμβαδά στο X (πρώην twitter) εδώ. Χωρίς λύσεις αλλά είναι σχετικά προσιτές, αν και συχνά πονηρές.

Όταν μπείτε στην ιστοσελίδα αυτή μην αμελήσετε να κατεβάσετε το αρχείο PowerPoint που η συγγραφέας έχει συγκεντρώσει τις περισσότερες από τις εν λόγω ασκήσεις. Βάζω το λινκ, έτσι και αλλιώς, εδώ.

Δείγμα η παρακάτω άσκηση. Δίνεται ένα τεταρτοκύκλιο. Μπορείτε να θεωρήσεται ότι το δοθέν κόκκινο σχήμα είναι τετράγωνο με εμβαδόν αντί για που δείχνει η εικόνα. Πόσο είναι το κίτρινο εμβαδόν;

Βρήκα ότι η απάντηση αρκετά απρόσμενη. Έχω λύση λίγων γραμμών αλλά θα χαιρόμουν να έβλεπα και άλλες λύσεις.
.
kitrino emvadon.png

Edit. Έκανα διορθώσεις στην αρχική διατύπωση.

Πρώτα- πρώτα με : και λόγω συμμετρίας έχω : .

Θα δείξω ότι το κίτρινο και το πράσινο μαζί κάνει το κόκκινο

Κόκκινο ισον με πράσινο και κίτρινο.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 4413 φορές

Τι ζητώ λοιπόν , που ισχύει γιατί εκφράζει το Π. Θ. σε ορθογώνιο τρίγωνο

Με κάθετες πλευρές : και υποτείνουσα που προφανώς ισχύει .

[Mihalis_Lambrou]

.
Σε ένα τετράγωνο πλευράς γράφουμε ένα τεταρτοκύκλιο, ένα ημικύκλιο και μία διαγώνιο, όπως στην εικόνα. Πόσο είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν; (Από παλιό διαγωνισμό Καγκουρό, για μαθητές Β' και Γ' Λυκείου)
.

[ksofsa]

Καλημέρα.

Μετά την ανάκλαση του κάτω δρεπάνου ως προς τη διαγώνιο και την δεξιόστροφη στροφή του ''μη δρεπάνου'' κατά 90 μοίρες, διαπιστώνουμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου, δηλαδή .

[Mihalis_Lambrou]

Βάζω σχηματικά την ωραία λύση του Κώστα. Άλλαξα μόνο την σειρά των μετασχηματισμών, για σχεδιαστικούς λόγους.

[Mihalis_Lambrou]

Τα είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

[nikkru]

Τα είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

Τα είναι διάμεσοι τριγώνων οπότε ισχύουν οι ισότητες εμβαδών που αναφέρονται κάτω από το σχήμα.
Προσθέτοντας τες μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.

ΙσότηταΕμβαδών.PNG (79.14 KiB) Προβλήθηκε 4086 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Τα είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

Ας είναι (Στο σχήμα,αντί των έθεσα )

Επειδή είναι διάμεσοι των τριγώνων θα είναι

και όμοια

Έτσι οπότε αρκεί να δείξουμε ότι

που προφανώς ισχύει

εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις στα εμβαδά.png (38.83 KiB) Προβλήθηκε 4076 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών .

Από τα φέρνουμε τις κάθετες επί των κι από το την κάθετη προς τις

Λόγω ισότητας των τριγώνων το είναι τετράγωνο

Άρα οπότε

Εξαιρετικής αισθητικής ασκήσεις στα εμβαδά.png (25.82 KiB) Προβλήθηκε 3939 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

Πολύ όμορφο πρόβλημα!
Ανεβάζω μια λύση μόνο για το πρώτο σχήμα.

[Mihalis_Lambrou]

[
Πολύ όμορφο πρόβλημα!
Ανεβάζω μια λύση μόνο για το πρώτο σχήμα.

Ιάσονα, πολλή ωραία λύση. Η δική μου είναι διαφορετική και είμαι βέβαιος ότι θα την χαρείς. Βασίζεται σε μία πολύ κομψή ιδέα.

[rek2]

Nα φέρετε μία ευθεία που να χωρίζει το αριστερό σχήμα σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Να κάνετε παρόμοιο χωρισμό για το δεξί σχήμα.

Σχόλιο. Οι δύο ασκήσεις βασίζονται στην ίδια ιδέα. Η λύση τους είναι σχεδόν μονολεκτική, αρκεί να το δεις σωστά. Αν αρχίσετε να κάνετε υπολογισμούς και πράξεις, τότε είστε σε λάθος δρόμο καθώς η λύση μπορεί να γίνει και από μαθητή του Δημοτικού που δεν ξέρει το εμβαδόν του κύκλου. Χαρείτε την.

Για το αριστερά ευρισκόμενο σχήμα, η ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κάτω μεσαίου κύκλου και το σημείο επαφής των δύο επάνω κύκλων, μας κάνει.

Για το δεξιά σχήμα, οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το κέντρο του κάτω και δεύτερου από αριστερά κύκλου και δεν τέμνει το κάτω δεξιά ούτε τον άνω αριστερά κύκλο, μας κάνει.

[rek2]

Ένα μικρό τετράγωνο βρίσκεται μέσα σε ένα πιο μεγάλο. Δείξτε την ισότητα εμβαδών .

Να γενικευσουμε: Αν το μικρό τετράγωνο είναι στο εσωτερικό του Μεγάλου τετραγώνου, και ορίσουμε, με ανάλογο τρόπο, την περιοχή D, τότε A+B=C+D.