Περίκυκλοι και λόγος εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ

: Λόγος εμβαδών.png (354.77 KiB) Προβλήθηκε 1804 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $\widehat{A}=90^o$ και σημείο $E \in AC$ ώστε AB=3AE

.

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των κυκλικών δίσκων:
του μπλε κύκλου που ορίζουν τα προς τον πράσινο που ορίζουν τα .

Β΄Λυκείου , 48 ώρες μόνο για μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

∫ot.T. · #2

Ως μαθητής μου επιτρέπεται να αναρτήσω λύση.
Η απάντηση είναι $\dfrac{9}{10}$ , αλλά γενικότερα ο ζητούμενος λόγος είναι $\dfrac{\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}+1}$
όπου $\lambda =\dfrac{AB}{AE}$

Απόδειξη:
Από νόμο ημιτόνων και αξιοποιώντας ότι $\widehat{A}=90^{\circ}$ έχουμε

$R_{\pi }=\dfrac{EB}{2sin\widehat{C}}=\frac{EB\cdot BC}{2AB}$
με $R_{\pi }$ την ακτίνα του πράσινου κύκλου.

Άρα ο ζητούμενος λόγος είναι $\dfrac{R_{\mu }^{2}}{R_{\pi }^{2}}=\dfrac{\frac{BC^{2}}{4}}{\frac{EB^{2}\cdot BC^{2}}{4AB^{2}}}=\dfrac{AB^{2}}{EB^{2}}$ (1)

με $R_{\mu }$ την ακτίνα του μπλε κύκλου.

Από πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ότι $EB^{2}=AB^{2}+AE^{2}$

Οπότε με αντικατάσταση στην (1)

έχουμε

$\dfrac{R_{\mu }^{2}}{R_{\pi }^{2}}=$ $\dfrac{AB^{2}}{AB^{2}+AE^{2}}=\dfrac{(\lambda \kappa )^{2}}{(\lambda \kappa )^{2}+\kappa ^{2}}=\dfrac{\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}+1}$

Για $\lambda =3$ ο ζητούμενος λόγος είναι $\dfrac{9}{10}$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 17, 2024 1:51 pm
Χαιρετώ
Λόγος εμβαδών.png
Θεωρούμε τρίγωνο με $\widehat{A}=90^o$ και σημείο $E \in AC$ ώστε .

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των κυκλικών δίσκων:
του μπλε κύκλου που ορίζουν τα προς τον πράσινο που ορίζουν τα .

Β΄Λυκείου , 48 ώρες μόνο για μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

διάμετρος του πράσινου κύκλου (K, R)

και

ο μπλε κύκλος

μέσο της υποτείνουσας BC).

: Λόγος κύκλων.png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 1720 φορές

Τότε

και λόγω του εγγεγραμμένου CEBF,

όλες οι κόκκινες γωνίες θα είναι ίσες, οπότε τα τρίγωνα

AEB, MKC

είναι όμοια. O ζητούμενος λόγος είναι $\boxed{\frac{{{r^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{E^2}}} = \frac{9}{{10}}}$

Περίκυκλοι και λόγος εμβαδών

Περίκυκλοι και λόγος εμβαδών

Re: Περίκυκλοι και λόγος εμβαδών

Re: Περίκυκλοι και λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση