Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2023 11:18 am
Να αποδειχθεί ότι η παράσταση:

$K={{a}^{2}}\cdot\displaystyle \frac{\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+{{b}^{2}}\cdot\displaystyle \frac{\left( x-c \right)\left( x-a \right)}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+{{c}^{2}}\cdot \displaystyle\frac{\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}$ είναι ανεξάρτητη

των τιμών που μπορούν να πάρουν οι $a,\,\,b,\,\,c$ .

Μέχρι: 15 – 12 – 2023 και ώρα 12 το μεσημέρι.

Ορέστη καλημέρα...

Η παράσταση $\displaystyle{K}$ εκτελώντας τις πράξεις και οδηγώντας αυτήν σε μορφή τριωνύμου

παίρνει τη μορφή:

$\displaystyle{K=Ax^2+Bx+C, \ \ (1)}$

τότε θα είναι:

$\displaystyle{A=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)} \ \ (2) }$

$\displaystyle{B=-\frac{a^2(b+c)}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^2(c+a)}{(b-c)(b-a)}-\frac{c^2(a+b)}{(c-a)(c-b)} \ \ (3) }$

$\displaystyle{C=\frac{a^2bc}{(a-b)(a-c)} +\frac{b^2ca}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2ab}{(c-a)(c-b)} \ \ (4) }$

Αν τώρα εκτελέσουμε τις πράξεις με υπομονή στις παραστάσεις αυτές τότε θα προκύψει εύκολα:

$\displaystyle{A=1, \ \ B=C=0 \ \ (5) }$

Από την (5) προκύπτει ότι η παράσταση $\displaystyle{K}$ θα είναι της μορφής:

$\displaystyle{K(x)=x^2 \ \ (6) }$

Δηλαδή ένα τριώνυμο ανεξάρτητο των παραμέτρων $\displaystyle{a,b,c}$

: Trionymo 1.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 2519 φορές

Κώστας Δόρτσιος

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

ksofsa · #4

Καλησπέρα.

Μια λύση εκτός φακέλου:

Έστω K(x)

η δεδομένη παράσταση.

Για να ορίζεται η K(x)

πρέπει τα

διαφορετικά ανά δύο.

Ακόμη, η K(x)

πολυώνυμο το πολύ 2ου βαθμού.

Με αντικατάσταση, διαπιστώνουμε ότι K(a)=a^2,K(b)=b^2,K(c)=c^2

(σε κάθε περίπτωση τα

κλάσματα μηδενίζονται και το 3ο είναι ίσο με

).

Δηλαδή, το πολυώνυμο K(x)-x^2

έχει

ρίζες και είναι το πολύ 2ου βαθμού.

Άρα, είναι το μηδενικό πολυώνυμο και συνεπώς, K(x)=x^2

, ανεξάρτητο των a,b,c

.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

ksofsa · #6

Ορέστη, σε ευχαριστούμε κι εμείς (ως κοινότητα) για τα ωραία και ενδιαφέροντα θέματα που αναρτάς το τελευταίο διάστημα. Να είσαι καλά.

Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Τιμή παράστασης (Γ΄ Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση