Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 140.png (10.23 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

Η χορδή

ενός ημικυκλίου είναι παράλληλη προς τη διάμετρό του

. Η εφαπτομένη

του τόξου στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Βρείτε την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου SDC

.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 19, 2022 1:31 pm
Ώρα εφαπτομένης 140.pngΗ χορδή ενός ημικυκλίου είναι παράλληλη προς τη διάμετρό του . Η εφαπτομένη

του τόξου στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Βρείτε την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

το κέντρο του κύκλου και

το μέσο του

. Θέτουμε

και

. Τότε είναι: $(SDC)=\dfrac{1}{2}CD\cdot OM=MD\cdot OM=xy$

Επίσης ισχύει: $x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \dfrac{(x+y)^2}{4}\geq xy \Leftrightarrow \dfrac{x^2+y^2+2xy}{4}\geq xy \Leftrightarrow xy\leq \dfrac{r^2}{2}$

Οπότε $(SDC)_{max}=\dfrac{r^2}{2}$ για $x=y=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}$

Τότε είναι $\angle{COD}=\angle{ODS}=90^{\circ}$ άρα COSD

παραλληλόγραμμο, οπότε DS=CO=r

και επειδή οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, αν $N\equiv OD\cap CS$ τότε είναι $DN=NO=\dfrac{r}{2}$

Επομένως, στο ορθογώνιο $\triangle{SDN}$ είναι $\tan \theta = \dfrac{DN}{DS}=\dfrac{r/2}{r} \Leftrightarrow \tan \theta=\dfrac{1}{2}$

KARKAR · #3

Μαρία -Ελένη , οφείλω να σε συγχαρώ και για την ορθότητα της αντιμετώπισης αλλά επίσης για το γεγονός

ότι έλυσες το πρόβλημα χρησιμοποιώντας στοιχειώδη εργαλεία , προσδίδοντας αίγλη στη λύση σου

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 19, 2022 1:31 pm
Ώρα εφαπτομένης 140.pngΗ χορδή ενός ημικυκλίου είναι παράλληλη προς τη διάμετρό του . Η εφαπτομένη

του τόξου στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Βρείτε την $\tan\theta$ , κατά την στιγμή που μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και

η ακτίνα του.

: Ώρα εφαπτομένης.140.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Επειδή $\displaystyle CD||AB,$ θα είναι $\displaystyle (SDC) = (ODC) = \frac{1}{2}{r^2}\sin \varphi \leqslant \frac{{{r^2}}}{2}.$

Τότε όμως, $\displaystyle \varphi = 90^\circ ,D\widehat OS = 45^\circ \Rightarrow DS = OD = r$ και $DM=\dfrac{r}{2}.$

Άρα, $\boxed{\tan \theta=\frac{1}{2}}$

Maria-Eleni Nikolaou · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 19, 2022 6:13 pm
Μαρία -Ελένη , οφείλω να σε συγχαρώ και για την ορθότητα της αντιμετώπισης αλλά επίσης για το γεγονός

ότι έλυσες το πρόβλημα χρησιμοποιώντας στοιχειώδη εργαλεία , προσδίδοντας αίγλη στη λύση σου

Σας ευχαριστώ πολύ!

Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Re: Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Re: Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Re: Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Re: Ώρα εφαπτομένης 140 ( Γ Λυκείου )

Μέλη σε σύνδεση