Σταθερά σημεία
Συντονιστής: polysot
Σταθερά σημεία
Ας είναι τα άλλα σημεία τομής των με τον κύκλο . Να δειχθεί ότι:
α) Η διέρχεται δια σταθερού σημείου και
β) Ο κύκλος διέρχεται δια σταθερού σημείου .
24 ώρες για μαθητές και για μέλη που έχουν εγγραφεί το φετινό καλοκαίρι στο
Μετά για όλους .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σταθερά σημεία
(a) Έστω . Τότε, στο τρίγωνο το είναι το ορθόκεντρο. Αν ,
τότε . Έστω το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο με την .
Είναι . Ως εκ τούτου , δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας .
Όμοια, αν το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο με την , τότε
, δηλαδή, , οπότε στο ορθογώνιο
τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι , όπου το μέσο του .
Εφόσον , το ανήκει στον ριζικό άξονα του σημείου και του κύκλου , ο οποίος ως γνωστόν είναι η ευθεία που
διέρχεται από τα μέσα , των μέσα των εφαπτόμενων τμημάτων , που άγονται από το σημείο στον κύκλο . Η ευθεία διέρχεται, ως γνωστόν από το σημείο και , οπότε και .
Έστω . Είναι γνωστό ότι η ευθεία είναι η πολική του . Εφόσον το ανήκει
στην πολική του , τότε το ανήκει στην πολική του , και από τον ορισμό της πολικής (ευθεία κάθετη στην ) προκύπτει
ότι η πολική του είναι ο ριζικός άξονας του σημείου και του κύκλου , που είναι σταθερή ευθεία. Επομένως, και το είναι
σταθερό σημείο.
(b) Έστω . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου προφανώς διέρχεται από το
(), και έχει κέντρο το σημείο . Εφόσον , τότε και το ανήκει στον κύκλο .
Το είναι σταθερό σημείο.
Ισχύει το εξής θεώρημα:
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Έστω ότι οι ευθείες των πλευρών και τέμνονται
στο σημείο , οι ευθείες των πλευρών και στο σημείο , και οι διαγώνιες , στο σημείο .
Έστω και τα σημεία επαφής του κύκλου με τις εφαπτομένες που άγονται από το σημείο σε αυτόν.
Τότε, τα σημεία , , , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
τότε . Έστω το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο με την .
Είναι . Ως εκ τούτου , δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας .
Όμοια, αν το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο με την , τότε
, δηλαδή, , οπότε στο ορθογώνιο
τρίγωνο το είναι το μέσο της υποτείνουσας .
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι , όπου το μέσο του .
Εφόσον , το ανήκει στον ριζικό άξονα του σημείου και του κύκλου , ο οποίος ως γνωστόν είναι η ευθεία που
διέρχεται από τα μέσα , των μέσα των εφαπτόμενων τμημάτων , που άγονται από το σημείο στον κύκλο . Η ευθεία διέρχεται, ως γνωστόν από το σημείο και , οπότε και .
Έστω . Είναι γνωστό ότι η ευθεία είναι η πολική του . Εφόσον το ανήκει
στην πολική του , τότε το ανήκει στην πολική του , και από τον ορισμό της πολικής (ευθεία κάθετη στην ) προκύπτει
ότι η πολική του είναι ο ριζικός άξονας του σημείου και του κύκλου , που είναι σταθερή ευθεία. Επομένως, και το είναι
σταθερό σημείο.
(b) Έστω . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου προφανώς διέρχεται από το
(), και έχει κέντρο το σημείο . Εφόσον , τότε και το ανήκει στον κύκλο .
Το είναι σταθερό σημείο.
Ισχύει το εξής θεώρημα:
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Έστω ότι οι ευθείες των πλευρών και τέμνονται
στο σημείο , οι ευθείες των πλευρών και στο σημείο , και οι διαγώνιες , στο σημείο .
Έστω και τα σημεία επαφής του κύκλου με τις εφαπτομένες που άγονται από το σημείο σε αυτόν.
Τότε, τα σημεία , , , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Re: Σταθερά σημεία
α) Τα σταθερά σε πρώτη ματιά είναι , ο κύκλος κέντρου και το σημείο .Doloros έγραψε: ↑Τετ Σεπ 14, 2022 11:18 amΣταθερά σημεία.png
Δίδεται σταθερός κύκλος και σταθερό σημείο εκτός αυτού , έστω δε μεταβλητή διάμετρος του , .
Ας είναι τα άλλα σημεία τομής των με τον κύκλο . Να δειχθεί ότι:
α) Η διέρχεται δια σταθερού σημείου και
β) Ο κύκλος διέρχεται δια σταθερού σημείου .
24 ώρες για μαθητές και για μέλη που έχουν εγγραφεί το φετινό καλοκαίρι στο
Μετά για όλους .
Ας είναι το σημείο τομής των . Η πολική του ως προς τον κύκλο είναι σταθερή ευθεία διερχομένη από το μη σταθερό σημείο
και από το μη σταθερό σημείο τομής των , αλλά είναι σταθερή γιατί είναι κάθετη στη σταθερή . Έτσι το σημείο τομής των σταθερών καθέτων ευθειών : είναι σταθερό . Ας είναι το σημείο τομής των ευθειών : .
Η δέσμη είναι αρμονική και άρα η τετράδα είναι αρμονική.
Τώρα και η δέσμη είναι αρμονική με άμεση συνέπεια και η δέσμη :
είναι αρμονική , με το σημείο τομής της μεταβλητής με τη σταθερή .
Συνεπώς το σημείο είναι σταθερό αφού τα είναι σταθερά . Άρα το διέρχεται από το σταθερό για το οποίο:
β) Προφανές ότι τα τετράπλευρα : είναι εγγράψιμα αφού η φαίνεται από τα υπό ορθή γωνία .
Έτσι τα πέντε σημεία : ανήκουν στον μεταβλητό κύκλο διαμέτρου αλλά διέρχεται από το σταθερό σημείο .
Η άσκηση είναι (άλυτη) στο βιβλίο : Γεωμετρία του υποψηφίου έκδοση στη σελίδα και είναι η υπ’ αρ. του ΑΓΓΕΛΟΥ ΚΟΥΡΚΟΥΛΟΥ .
Re: Σταθερά σημεία
Να πούμε ότι το συμπέρασμα ισχύει για οποιαδήποτε χορδή που διέρχεται από σταθερό σημείο, και, ακόμα, κι για τον κύκλο .
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες