Σταθερό σημείο κύκλου

#1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC)

και

τυχαίο σημείο της πλευράς AB.

Το σημείο

επιλέγεται

στην πλευρά

ώστε

Να δείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα A, M, N

διέρχεται και από

ένα δεύτερο σταθερό σημείο εκτός του

24 ώρες για μαθητές.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου ABC

. Φέρνουμε OA,OB,OC,OM,ON

. Τα τρίγωνα AON

και

είναι ίσα , γιατί OA=OB

,

, $\angle{NAO}=\angle{CAO}=\angle{OAB}=\angle{OBA}=\angle{OBM}$ , . Άρα $\angle{BMO}=\angle{ANO}$ , οπότε A,N,O,M

ομοκυκλικά . Επομένως ο κύκλος διέρχεται και από το περίκεντρο

του τριγώνου ABC

.