Έχει δίκιο ο Ξερολίδης;

#1

Ο καθηγητής γράφει στον πίνακα την εξίσωση x^3+x^2+x=a^3+a^2+a

και ζητάει από τους μαθητές να τη λύσουν.

Τότε πετάγεται ο Ξερολίδης και λέει. "Μα είναι απλό κύριε, x=a

". Ο καθηγητής επιστρέφει στον πίνακα, κάνει κάποιες

αλλαγές και προκύπτει η εξίσωση, x^3-x^2-x=a^3-a^2-a

. "Τώρα;" ρωτάει.

"Δεν αλλάζει τίποτα κύριε", απαντάει ο Ξερολίδης. "Και πάλι x=a

".

Συμφωνείτε με την άποψη του Ξερολίδη; Αιτιολογήστε την απάντησή σας για καθεμία από τις δύο εξισώσεις.

Για μαθητές μέχρι την έναρξη του αγώνα κυπέλλου ΠΑΟΚ-ΠΑΟ ................. Άλγεβρα Α Λυκείου.

jimth · #2

1)
$...\Leftrightarrow (x-a)(x^{2}+xa+a^{2})+(x-a)(x+a)+(x-a)=0$
$\Leftrightarrow (x-a)(x^{2}+xa+a^{2}+x+a+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-a)\left [ x^{2}+(a+1)x+a^{2}+a+1 \right ]=0$
Το πολυώνυμο $x^{2}+(a+1)x+a^{2}+a+1$ δεν έχει καμία λύση ως προς

,
επειδή

.
Συνεπώς η μοναδική λύση είναι η x=a

.
2) Αντιστοίχως, $...\Leftrightarrow (x-a)\left [ x^{2}+(a-1)x+a^{2}-a-1 \right ]$
Ο δεύτερος παράγοντας έχει ρίζες ως προς

για $a\in \left [ -\frac{5}{3},1 \right ]$ .
Το ζητούμενο έπεται.

#3

Αλλιώς το 1), για χάρη της πληρότητας: Η x^3+x^2+x

είναι γνήσια αύξουσα αφού έχει παράγωγο 3x^2+2x+1= 2x^2+(x+1)^2 >0

, και λοιπά.

Έχει δίκιο ο Ξερολίδης;

Έχει δίκιο ο Ξερολίδης;

Re: Έχει δίκιο ο Ξερολίδης;

Re: Έχει δίκιο ο Ξερολίδης;

Μέλη σε σύνδεση