Κοινή εφαπτομένη (Γ Λυκείου )

KARKAR · #1

Σχεδόν τετριμμένο , αλλά ενδιαφέρον ... Βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης ,

των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : $f(x)=x^{2}$ και $\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x}$

Μέχρι να ανοίξουν τα Σχολεία

Γιώργος Απόκης · #2

Αφού τα σχολεία δεν έχουν ανοίξει... εντελώς, επαναφέρω!

stavros11 · #3

Ισχύει $\displaystyle{f'(x)=2x}$ και $\displaystyle{g'(x)=\frac{1}{x^2}}$ .
Για τα σημεία που υπάρχουν στο σχήμα, έστω ότι ισχύει $\displaystyle{A(a,a^2)}$ και $\displaystyle{B(b,-\frac{1}{b}))}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}^{*}$ .

Η εφαπτομένη της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{A}$ έχει εξίσωση: $\displaystyle{y-f(a)=f'(a)(x-a)\Rightarrow y-a^2=2a(x-a)\Rightarrow y=2ax-a^2}$ .
Όμοια για την εφαπτομένη της $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{B}$ : $\displaystyle{y-g(b)=g'(b)(x-b)\Rightarrow y+\frac{1}{b}=\frac{1}{b^2}(x-b)\Rightarrow y=\frac{1}{b^2}x-\frac{2}{b}}$ .

Αφού ψάχνουμε κοινή εφαπτομένη, πρέπει $\displaystyle{2a=\frac{1}{b^2}}$ και $\displaystyle{a^2=\frac{2}{b}}$ . Από τη δεύτερη έχουμε $\displaystyle{b=\frac{2}{a^2}}$ , άρα αντικαθιστώντας στην πρώτη παίρνουμε: $\displaystyle{2a=\frac{a^4}{4}\Rightarrow a^3=8\Rightarrow a=2}$ .

Άρα η κοινή εφαπτομένη έχει εξίσωση $\displaystyle{y=4x-4}$ .

Κοινή εφαπτομένη (Γ Λυκείου )

Κοινή εφαπτομένη (Γ Λυκείου )

Re: Κοινή εφαπτομένη (Γ Λυκείου )

Re: Κοινή εφαπτομένη (Γ Λυκείου )

Μέλη σε σύνδεση