δηλαδή μια θεωρία που δεν μπορεί να οδηγήσει σε αντίφαση συνδυάζοντας τα αξιώματά της με τους κανόνες παραγωγής της (πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής) λογικής.
Υπό την προϋπόθεση ότι η ZF είναι όντως συνεπής προκύπτει το εξής (φαινομενικό) παράδοξο:
Στη συλλογή των αξιωμάτων της θεωρίας ZF μπορούμε να εισαγάγουμε άλλο ένα αξίωμα,
ας το ονομάσουμε K,
του οποίου η μεταθεωρητική σημασία, (όχι η συνολοθεωρητική) θα είναι "Η θεωρία ZF είναι ασυνεπής"
και εντούτοις η καινούργια επεκτατεταμένη θεωρία ZF+K που θα προκύψει να είναι συνεπής.
Με πολύ απλά λόγια,
η χωρίς αντιφάσεις θεωρία ZF
(εφ' όσον όντως δεν είναι αντιφατική)
μπορεί να συνδυαστεί με τη δήλωση
ότι (η ZF) παράγει αντιφάσεις
χωρίς να παράγεται καμία αντίφαση.
Ζητούμενο:
Να εξηγηθεί το παράδοξο:
#1. Συντακτικά
#2. Σημασιολογικά
#3. Εκλαϊκευτικά
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
#1. Επίσημα το K αναφέρεται ως
όπου το 
είναι μια από τις ισοδύναμες προτάσεις της θεωρίας συνόλων που η καθεμία (μεταθεωρητικά) σημαίνει ότι "η ZF δεν παράγει την πρόταση 
"#2. Η θεώρηση της ZF είναι ενδεικτική. Στη θέση της θα μπορούσε, χωρίς να αλλάζει επί της ουσίας κάτι, να είχε θεωρηθεί η ZFC, άλλες εξωτικότερες (πλην πρωτοβάθμιες) θεωρίες ή απλώς η πρωτοβάθμια αριθμητική του Peano ή ακόμη και κάποια ασθενέστερη όπως π.χ. η αριθμητική Robinson (όλες δεν μας κάνουν, όπως για παράδειγμα οι θεωρίες της αριθμητικής Presburger και της DLO δηλαδή της πυκνής γραμμικής διάταξης χωρίς άκρα ή η
, δηλαδή η θεωρία των πρωτοβάθμιων αληθειών του καθιερωμένου μοντέλου των φυσικών αριθμών).