https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 67&t=76060
Για κάποιον που αρκείται στην κλασική ευκλείδεια γεωμετρία των κατασκευών με κανόνα και διαβήτη,
το πανίσχυρο αξίωμα πληρότητας του Hilbert
δεν είναι αναγκαίο. Μάλιστα ούτε καν το κατά πολύ ασθενέστερο αξίωμα σχήμα πληρότητας
του Tarski δεν είναι αναγκαίο. Αρκεί κανείς να δεχτεί στη θέση αυτών των αξιωμάτων ένα μικρό μέρος του
το οποίο αντιπροσωπεύει η ακόλουθη πρότασηΚ: Αν μια ευθεία διέρχεται από το εσωτερικό ενός κύκλου τότε θα έχει με αυτόν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο
Ωστόσο αν κανείς θέλει να μελετήσει γενικότερες καμπύλες, όπως για παράδειγμα κωνικές τομές, τότε το αξίωμα αυτό δεν αρκεί και αυτό μας φέρνει στο ζητούμενο της ανάρτησης.
Πρώτα όμως ας δώσουμε δύο ορισμούς. Έστω μια υπερβολή και μια παραβολή του επιπέδου. Ορίζουμε ως εσωτερικό της παραβολής την περιοχή του επιπέδου που σχηματίζεται από την ένωση των ευθυγράμμων τμημάτων με άκρα την εστία και τα σημεία της παραβολής και της ημιευθείας που διέρχεται από την εστία της παραβολης με αρχή την κορυφή της, εξαιρώντας όλα τα σημεία της παραβολής, δηλαδή το ανοιχτό κόκκινο χωρίο στο επισυνημμένο σχήμα. Επίσης ορίζουμε ως εξωτερικό της παραβολής τα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην παραβολή ή το εσωτερικό της, δηλαδή το λευκό τμήμα του επιπέδου στο επισυνημμένο σχήμα.
Να αποδειχθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός.
Έστω μια υπερβολή και μια παραβολή. Υποθέτουμε ότι ένας από τους κλάδους της υπερβολής έχει κοινά σημεία και με το εσωτερικό της παραβολής και με το εξωτερικό της. Να αποδειχθεί ότι στο αξιωματικό σύστημα I,II,III,IV,V+Κ δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι η υπερβολή και η παραβολή τέμνονται.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Εάν επιθυμούμε λοιπόν να έχουμε ένα αξιωματικό σύστημα γεωμετρίας στο οποίο να μπορεί να αποδειχθεί η ύπαρξη της τομής των παραπάνω κωνικών τομών, χρειάζεται ένα αξίωμα ισχυρότερο από το K και ούτω καθ' εξής. Ανάλογα με το ποιες τομές καμπυλών επιθυμεί κανείς να έχουν αποδείξιμη ύπαρξη, απαιτούνται αντίστοιχα ισχυρότερες παραλλαγές του K. Το αξίωμα
(καθώς και οι ισχυρότερες δευτεροβάθμιες παραλλαγές του) φιλοδοξεί να μας απαλλάξει μια και καλή από μια αέναη διαδικασία επέκτασης του αξιωματικού συστήματός μας με ολοένα και ισχυρότερα αξιώματα (και γι' αυτό λέγεται και αξίωμα πληρότητας).