Η ευθεία έχει κοινά σημεία με το εσωτερικό του κύκλου αλλά... δεν τον τέμνει

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το πρόβλημα που θα ακολουθήσει έχει ως σημείο αναφοράς το αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας του D. Hilbert το οποίο
μπορεί κανείς να δει στο έργο του Θεμέλια Γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα έχει ληφθεί υπ' όψιν η ακόλουθη αγγλική μετάφραση
https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf

Το εν λόγω σύστημα αποτελείται από πέντε ομάδες αξιωμάτων:

(7 αξιώματα σύνδεσης)

(5 αξιώματα διάταξης)
III

(αξίωμα παραλλήλων)

(6 αξιώματα ισοδυναμίας)

(Αρχιμήδειο αξίωμα)

οι οποίες συμπληρώνονται από ένα επιπλέον αξίωμα το οποίο ο Hilbert ονομάζει αξίωμα πληρότητας και το οποίο θα συμβολίσουμε με $\mathcal{HC}^2$ . Σύμφωνα με αυτό δεχόμαστε ότι έχουμε ένα σύστημα σημείων, ευθείων και επιπέδων το οποίο είναι "πλήρες" δηλαδή ότι δεν μπορεί να υποστεί επέκταση με εισαγωγή επιπλέον σημείων, ευθειών ή επιπέδων πέρα από αυτά που έχουμε χωρίς απώλεια της ισχύος των παραπάνω αξιωμάτων. Στην πράξη το αξίωμα αυτό στοχεύει σε εκείνο που το σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου εκφράζει με απλά λόγια ως εξής:
"Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο κατευθύνσεις, χωρίς διακοπές και κενά."

Εφ' εξής το σύστημα των αξιωμάτων των πέντε ομάδων, χωρίς το αξίωμα της πληρότητας, θα το συμβολίζουμε I-V

. Για τις ανάγκες του προβλήματος που ακολουθεί μπορεί κανείς να περιοριστεί στο τμήμα του I-V

που αφορά το επίπεδο αν και αυτό δεν είναι αναγκαίο.

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ Ο ΑΚΟΛΟΥΘΟΣ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ:

Στα πλαίσια του συστήματος αξιωμάτων I-V

ΧΩΡΙΣ τη συμπερίληψη του αξιώματος της πληρότητας $\mathcal{HC}^2$
(ή οποιουδήποτε άλλου αξιώματος) ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΟΝ να αποδειχθούν οι ακόλουθες προτάσεις:
#1. "Αν μια ευθεία έχει κοινά σημεία με το εσωτερικό και το εξωτερικό ενός κύκλου τότε η ευθεία τέμνει τον κύκλο"
#2. "Δυο κύκλοι με ακτίνες $\rho$ ,

και διάκεντρο $\delta$ τέτοια ώστε $|\rho-R|<\delta<\rho+R$ τέμνονται"

Σημείωση
Στο σύστημα του Hilbert δεν ορίζεται μετρική, οπότε η πρόταση #2. ερμηνεύεται με βάση τις συνήθεις πράξεις μεταξύ ευθύγραμμων τμημάτων και τη σχέση διάταξης μεταξύ αυτών.

Σημείωση
Το αξιωματικό σύστημα της Γεωμετρίας του D. Hilbert υπάρχει και στο παράρτημα του σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου
http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547 ... x_par.html
με διαφορές όμως ως προς την αρίθμηση και τη διατύπωση των αξιωμάτων σε σχέση με την παραπάνω αναφορά. Ειδικότερα στη θέση του $\mathcal{HC}^2$ υπάρχει ένα αξίωμα με "οικονομικότερη" διατύπωση, αρίθμηση IV_2

και τίτλο "αξίωμα γραμμικής πληρότητας".

Σημείωση
Όταν ακούμε για "αξίωμα πληρότητας" (ή συνέχειας) στη γεωμετρία χρειάζεται λίγη προσοχή.
Η έκφραση αυτή δεν έχει πάντα την ίδια σημασία.
$\bullet$ Κατ' αρχάς υπάρχει το πρωτοβάθμιας λογικής αξίωμα-σχήμα συνέχειας $\mathcal{C}^1$ που συναντάμε στο σύστημα του Tarski
(https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms).
$\bullet$ Αυτό έχει ένα δευτεροβάθμιας λογικής ανάλογο $\mathcal{C}^2$ που προκύπτει αντικαθιστώντας τις μεταβλητές τύπων
στο αξίωμα-σχήμα $\mathcal{C}^1$ με μεταβλητές σημειοσυνόλων οι οποίες θα βρίσκονται στην εμβέλεια καθολικών ποσοδεικτών.
Αμφότερα τα $\mathcal{C}^1$ , $\mathcal{C}^2$ αποδεικνύουν την ύπαρξη σημείων πληρώνοντας τα κενά των (ημι)ευθειών. Όποιος είναι εξοικειωμένος με τις
τομές Dedekind θα τις "αναγνωρίσει" στη διατύπωση αυτών των αξιωμάτων.
Η διαφορά μεταξύ των $\mathcal{C}^1$ , $\mathcal{C}^2$ είναι ότι ενώ το $\mathcal{C}^1$ εισάγει ΜΟΝΟ τις "τομές" που είναι περιγράψιμες από τύπους της γλώσσας στην οποία διατυπώνεται η θεωρία, το $\mathcal{C}^2$ τις εισάγει ΟΛΕΣ, αδιακρίτως, γεγονός που το καθιστά ουσιωδώς ισχυρότερο από το $\mathcal{C}^1$
$\bullet$ Τέλος έχουμε αυτό που στο έργο του Hilbert φέρει τον τίτλο "αξίωμα πληρότητας", το άνωθι $\mathcal{HC}^2$ (και το απλούστερο ανάλογο του IV_2

),
το οποίο δεν έχει διατύπωση αξιώματος κατά τα συνηθισμένα στη μαθηματική λογική
(https://math.stackexchange.com/question ... n-geometry)
Η συμπερασματική του ισχύς είναι ανάλογη με αυτή του $\mathcal{C}^2$ και συνδυαζόμενο με τα υπόλοιπα αξιώματα I-V

οδηγεί στο συνήθη χώρο $\mathbb{R}^3$

Σημείωση
Η πρόταση #2 στη διατύπωση του παραπάνω προβλήματος αποτέλεσε αντικείμενο μιας πολύ
ενδιαφέρουσας συζήτησης εντός του

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=68101
η οποία επικεντρώθηκε στο πως μπορεί να αποδειχθεί/δικαιολογηθεί το #2, δηλαδή στο "ικανό".
Συγκεκριμένα παρατίθεται από τον Demetres ( https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 82#p331180 )
η ακόλουθη αναφορά https://archive.org/details/thirteenboo ... ew=theater
εντός της οποίας αποδεικνύονται οι προτάσεις #1,#2 με εφαρμογή ενός αξιώματος που ονομάζεται εκεί "αξίωμα του Dedekind"
που με βάση τη διατύπωση του στη σελίδα 236 (αυτόθι) είναι κατ' ουσίαν το αξίωμα $\mathcal{C}^2$ της προηγούμενης σημείωσης αλλά για ευθείες.

Το πρόβλημα της παρούσας ανάρτησης αφορά το "αναγκαίο", δηλαδή ότι για την απόδειξη των προτάσεων #1,#2 δεν επαρκούν τα συνήθη γεωμετρικά αξιώματα που αντιπροσωπεύονται από το σύστημα I-V

αλλά ότι είναι απαραίτητη η εισαγωγή τουλάχιστον ενός επιπλέον αξιώματος όπως για παράδειγμα τα $\mathcal{C}^1, \mathcal{C}^2$

Η ευθεία έχει κοινά σημεία με το εσωτερικό του κύκλου αλλά... δεν τον τέμνει

Η ευθεία έχει κοινά σημεία με το εσωτερικό του κύκλου αλλά... δεν τον τέμνει

Μέλη σε σύνδεση