Διαιρετότητα φυσικών αριθμών

akis95 · #1

Καλησπέρα σκεφτόμουν την παρακάτω πρόταση,η οποία φαίνεται να ισχύει με κάποιες δοκιμές που έκανα, αλλα δεν μπορώ να την αποδείξω.

Αν $\alpha,\beta$ φυσικοί αριθμοί και $\nu$ ο μικρότερος φυσικός θετικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\beta | \alpha \nu$ .Να δείξετε ότι $\nu | \beta$ .

#2

Ας πάρουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για τους αριθμούς $\displaystyle{a , b}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{b|a}$ . Τότε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{an}{b}}$ είναι ακέραιος για κάθε $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο. Η ελάχιστη τιμή τότε για το $\displaystyle{n}$

είναι η $\displaystyle{n=1}$ , οπότε έχουμε το ζητούμενο (δηλαδή $\displaystyle{n|b}$ )

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{(a,b)=1}$ . Τότε για να είναι ακέραιος ο αριθμός $\displaystyle{\frac{an}{b}}$ , θα πρέπει $\displaystyle{b|n}$ , δηλαδή $\displaystyle{n=kb}$ , με $\displaystyle{k}$ θετικό

ακέραιο , οπότε η ελάχιστη τιμή για το $\displaystyle{n}$ είναι η $\displaystyle{n=b}$ και άρα πάλι έχουμε το ζητούμενο, ότι δηλαδή $\displaystyle{n|b}$ .

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{(a,b) = r}$ , όπου $\displaystyle{r}$ θετικός ακέραιος $\displaystyle{r\neq 1}$

Τότε είναι: $\displaystyle{a=xr}$ και $\displaystyle{b=yr}$ , όπου $\displaystyle{x,y}$ θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{(x,y)=1}$

Τώρα ο αριθμός $\displaystyle{\frac{an}{b}}$ γράφεται: $\displaystyle{\frac{xr.n}{yr}}$ , δηλαδή $\displaystyle{\frac{xn}{y}}$ και για να είναι ακέραιος, δεδομένου ότι $\displaystyle{(x,y)=1}$

θα πρέπει $\displaystyle{y|n}$ , δηλαδή $\displaystyle{n=ky}$ , οπότε η ελάχιστη τιμή για το $\displaystyle{n}$ είναι $\displaystyle{n=y}$ .

Όμως αφού $\displaystyle{b=yr}$ έπεται ότι $\displaystyle{y|b}$ και άρα $\displaystyle{n|b}$ , οπότε και πάλι έχουμε το ζητούμενο

Διαιρετότητα φυσικών αριθμών

Διαιρετότητα φυσικών αριθμών

Re: Διαιρετότητα φυσικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση