Εύρεση διψήφιου mod

Συντονιστής: nkatsipis

rush7
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τετ Απρ 10, 2019 6:01 pm

Εύρεση διψήφιου mod

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rush7 » Τρί Αύγ 13, 2019 8:43 pm

Να βρεθούν οι διψήφιοι θετικοί ακέραιοι a για τους οποίους ισχύει
a\equiv3 (mod4)
και
a\equiv4 (mod6)

Τί κάνω λάθος; Γνωρίζω έχοντας δει τη λύση (με διαφορετικό τρόπο, δημιουργώντας διοφαντική εξίσωση) οτι δεν υπάρχουν τέτοια α. Στα παρακάτω κάνω λάθος στη χρήση κάποιας ιδιότητας ;



a\equiv3 (mod4)\Rightarrow 4|a-3\Rightarrow12|3a-9
a\equiv4 (mod6)\Rightarrow 6|a-4\Rightarrow12|2a-8

Άρα:
12|3a-9-(2a-8)\Rightarrow 12|a-1\Rightarrow a-1=12k\Leftrightarrow a=12k+1, k\in\mathbb{N}

Βγάζω λοιπόν λύσεις της παραπάνω μορφής. Αλλά εάν τις επαληθεύσω παρατηρώ ότι δεν ισχύουν.Για να βγει αδύνατη με αυτόν τον τρόπο πρεπει να τεστάρω μία προς μία τις τιμές του k ώστε ο a να ναι διψήφιος και να διαπιστώσω πως δεν υπάρχει τέτοιο k ;



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Εύρεση διψήφιου mod

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Αύγ 13, 2019 9:08 pm

Παρατήρησε ότι χρησιμοποιείς συνεπαγωγές και όχι ισοδυναμίες. Το τελικό σου αποτέλεσμα λέει ότι το a πρέπει να είναι περιττό, που διαφωνεί με το δεύτερο δεδομένο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
stranger
Δημοσιεύσεις: 60
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Εύρεση διψήφιου mod

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Αύγ 14, 2019 1:16 am

Δεν χρειάζεται να κάνεις όλες αυτές τις συνεπαγωγές.
Από την πρώτη υπόθεση βγαίνει ότι ο α είναι περιττός και από τη δεύτερη βγαίνει ότι είναι άρτιος.
Άρα δεν υπάρχει καμία λύση της εξίσωσης.Όχι μόνο δεν υπάρχει κανένας διψήφιος που να ικανοποιεί τις εξισώσεις.
Δεν υπάρχει κανένας ακέραιος που να είναι λύση.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Εύρεση διψήφιου mod

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Δευ Σεπ 02, 2019 3:27 pm

Απόπειρα λύσης
Γνωρίζουμε ότι η έκφραση a\equiv 3mod4 ισοδυναμεί με την έκφραση a=3+4k, k\epsilon \mathbb{Z}.
Ομοίως για την δεύτερη γραμμική ισοδυναμία καταλήγουμε στο ότι a=4+6k, k\epsilon \mathbb{Z}.

Εφόσον θέλουμε να πληρούνται και οι δύο συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε τις ισότητες ως προς a και να καταλήξουμε:
3+4k=4+6k
Λύνοντας την παραπάνω καταλήγουμε στο ότι k=\frac{-1}{2}, που είναι άτοπο διότι απαιτήσαμε k\epsilon \mathbb{Z}.

Συνεπώς δεν υπάρχουν λύση για το σύστημα γραμμικής ισοδυναμίας που έδωσες.

Αυτό που έκανες εσύ είναι και πάλι σωστό, αλλά δεν γνωρίζω πώς μπορείς να αποδείξεις ότι για κάθε k\varepsilon \mathbb{Z} ότι η σχέση που βρήκες δεν δίνει αποδεκτές λύσεις. Αν κάποιος το ξέρει, με χαρά θα έβλεπα την δική του γνώμη.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8266
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση διψήφιου mod

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Σεπ 02, 2019 5:57 pm

EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Σεπ 02, 2019 3:27 pm
Απόπειρα λύσης
Γνωρίζουμε ότι η έκφραση a\equiv 3mod4 ισοδυναμεί με την έκφραση a=3+4k, k\epsilon \mathbb{Z}.
Ομοίως για την δεύτερη γραμμική ισοδυναμία καταλήγουμε στο ότι a=4+6k, k\epsilon \mathbb{Z}.

Εφόσον θέλουμε να πληρούνται και οι δύο συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε τις ισότητες ως προς a και να καταλήξουμε:
3+4k=4+6k
Λύνοντας την παραπάνω καταλήγουμε στο ότι k=\frac{-1}{2}, που είναι άτοπο διότι απαιτήσαμε k\epsilon \mathbb{Z}.

Συνεπώς δεν υπάρχουν λύση για το σύστημα γραμμικής ισοδυναμίας που έδωσες.

Αυτό που έκανες εσύ είναι και πάλι σωστό, αλλά δεν γνωρίζω πώς μπορείς να αποδείξεις ότι για κάθε k\varepsilon \mathbb{Z} ότι η σχέση που βρήκες δεν δίνει αποδεκτές λύσεις. Αν κάποιος το ξέρει, με χαρά θα έβλεπα την δική του γνώμη.

Δεν είναι σωστά τα πιο πάνω. Πρέπει να χρησιμοποιήσεις διαφορετικές μεταβλητές. Π.χ. 3+4k = 4+6\ell το οποίο δίνει 4k - 6\ell = 1 και 2k-3\ell = \frac{1}{2}, άτοπο.

Βέβαια όπως έχει ήδη λεχθεί δεν χρειάζονται αυτά. Η μία συνθήκη λέει ότι ο a είναι άρτιος και η άλλη ότι ο a είναι περιττός.


EmperorIoannes
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Αύγ 12, 2019 2:43 pm

Re: Εύρεση διψήφιου mod

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από EmperorIoannes » Τρί Σεπ 03, 2019 2:11 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Σεπ 02, 2019 5:57 pm
EmperorIoannes έγραψε:
Δευ Σεπ 02, 2019 3:27 pm
Απόπειρα λύσης
Γνωρίζουμε ότι η έκφραση a\equiv 3mod4 ισοδυναμεί με την έκφραση a=3+4k, k\epsilon \mathbb{Z}.
Ομοίως για την δεύτερη γραμμική ισοδυναμία καταλήγουμε στο ότι a=4+6k, k\epsilon \mathbb{Z}.

Εφόσον θέλουμε να πληρούνται και οι δύο συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε τις ισότητες ως προς a και να καταλήξουμε:
3+4k=4+6k
Λύνοντας την παραπάνω καταλήγουμε στο ότι k=\frac{-1}{2}, που είναι άτοπο διότι απαιτήσαμε k\epsilon \mathbb{Z}.

Συνεπώς δεν υπάρχουν λύση για το σύστημα γραμμικής ισοδυναμίας που έδωσες.

Αυτό που έκανες εσύ είναι και πάλι σωστό, αλλά δεν γνωρίζω πώς μπορείς να αποδείξεις ότι για κάθε k\varepsilon \mathbb{Z} ότι η σχέση που βρήκες δεν δίνει αποδεκτές λύσεις. Αν κάποιος το ξέρει, με χαρά θα έβλεπα την δική του γνώμη.

Δεν είναι σωστά τα πιο πάνω. Πρέπει να χρησιμοποιήσεις διαφορετικές μεταβλητές. Π.χ. 3+4k = 4+6\ell το οποίο δίνει 4k - 6\ell = 1 και 2k-3\ell = \frac{1}{2}, άτοπο.

Βέβαια όπως έχει ήδη λεχθεί δεν χρειάζονται αυτά. Η μία συνθήκη λέει ότι ο a είναι άρτιος και η άλλη ότι ο a είναι περιττός.
Έχετε πολύ δίκιο κύριε Δημήτρη. Σας ευχαριστώ πολύ για την διόρθωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης