Μια παρατήρηση στους πρώτους

[loukaz7]

Πριν λίγο καιρό καθώς έτρωγα έκανα μια παρατήρηση στους πρώτους που μου φάνηκε ενδιαφέρουσα. Λοιπόν η παρατήρηση μου αφού την γενίκευσα λέει : Υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι πάλι πρώτος, δηλαδή με πρώτο αριθμό, π.χ. !!! (ισχύει και για μεγαλύτερες τριάδες). Έτσι θα ήθελα να σας ρωτήσω εσάς που σίγουρα γνωρίζετε, μήπως υπάρχει αυτή η πρόταση αποδεδειγμένη μπορώντας να την χρησιμοποιήσω σε ασκήσεις ή αλλιώς μήπως έχω βρει κάτι πραγματικά σημαντικό. ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ!!!!

[chris_konst]

Κατ' αρχάς υπάρχει το ερώτημα αν υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων. Αυτό, απ' όσο ξέρω, είναι ακόμα εικασία, αν και μάλλον φαίνεται να ισχύει.

http://mathworld.wolfram.com/PrimeTriplet.html

[Mihalis_Lambrou]

καθώς έτρωγα

Καλή χώνεψη.

Λοιπόν η παρατήρηση μου αφού την γενίκευσα λέει : Υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων p,q,r έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι πάλι πρώτος

Όταν λες ότι "παρατήρησες" τα παραπάνω σημαίνει ότι βρήκες μερικά παραδείγματα ή ΑΠΕΔΕΙΞΕΣ ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων με την εν λόγω ιδιότητα; Αν βρήκες μόνο μερικά παραδείγματα αλλά μετά έκανες το λογικό άλμα να θεωρήσεις ότι υπάρχουν άπειρα τέτοια, τότε δεν έκανες απολύτως τίποτα. Αν από την άλλη έδωσες απόδειξη του ισχυρισμού, τότε δείχνει ενδιαφέρον και εξ όσων γνωρίζω είναι πρωτότυπο.

αλλιώς μήπως έχω βρει κάτι πραγματικά σημαντικό.

Καλύτερα να αφήσεις την εκτίμηση της σπουδαιότητας στους άλλους. Εδώ είμαστε να αναγνωρίσουμε οτιδήποτε ενδιαφέρον. Μέχρι τότε σε ενθαρρύνουμε να εργάζεσαι στα Μαθηματικά αλλά πρέπει να τα δούμε πρώτα πριν τα επιβραβεύσουμε. Και θα το κάνουμε με πολλή χαρά, όταν και άμα τα δούμε.

Μ.Λ.

[Αρχιμήδης 6]

Κατ' αρχάς υπάρχει το ερώτημα αν υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων. Αυτό, απ' όσο ξέρω, είναι ακόμα εικασία, αν και μάλλον φαίνεται να ισχύει.

http://mathworld.wolfram.com/PrimeTriplet.html

Σύμφωνα με το παράδειγμα του δεν απαιτεί οι πρώτοι να είναι κάποιας συγκεκριμένης μορφής. Π.χ

Απλά ρωτάει αν υπάρχουν άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων ώστε το άθροισμα τους να είναι πρώτος .
Δηλαδή θεωρώντας την ακολουθία των πρώτων με , , κτλ αν υπάρχουν άπειροι δείκτες ΄ώστε με πρώτο.


Υ.Γ
Έγινε επεξεργασία για επιπλέον διευκρινίσεις.

Φιλικά,

Δημήτρης

[chris_konst]

Προφανώς έχεις δίκιο...

Φιλικά,
Χρήστος

[Αρχιμήδης 6]

Θα αποδείξω κάτι ελαφρύ για να σου δώσει μια ώθηση (κατάλαβα πως δεν το έχεις αποδείξει..)αν και θεωρώ ότι είναι δύσκολο να αποδειχθεί διότι δεν υπάρχει μέθοδος που να παράγει τον επόμενο πρώτο γνωρίζοντας τους προηγούμενους συνεπώς για να προσεγγίσεις τέτοια προβλήματα πρέπει να παίξεις με τις κατανομές των πρώτων και να βρεις εκεί κάποια απόδειξη μαζί με άλλα βαριά εργαλεία.



Ισχυρισμός

Aν δηλαδή τότε



Απόδειξη

Από το θεώρημα Chebyshev εδώ http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html αν τότε θα υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ του ,.

Άρα

Επίσης άρα αλλά πρώτος άρα

[Αρχιμήδης 6]

Άλλη μια βοήθεια ...

Αφού φτιάξαμε ένα φράγμα για τον σε σχέση με τον τώρα θα αναρωτηθούμε που περίπου πέφτει ο άρα και ο δείκτης .

Π.χ ας δούμε την πολύ πιο απλή εξίσωση ,

(1)

Ο Ramanujan είχε κάνει μια γενίκευση του θεωρήματος Chebyshev και δεν είπε απλά για έναν πρώτο στο σύνολο άλλα ότι το πλήθος αυτόν δηλαδή η από το αυξάνεται καθώς το πάει στο άπειρο. Συγκεκριμένα αν αν και αυτό υπάρχει και εδώ http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html

Συνεπώς αν τότε μεταξύ του υπάρχουν τουλάχιστον πρώτοι και με βάση τον ισχυρισμό μου στο προηγούμενο post η εξίσωση (1) είναι αδύνατη διότι εφόσον .

Μπορούμε λοιπόν να απορρίψουμε εύκολα μικρές διαφορές των όπως έκανα με

Επειδή μεταξύ του η πυκνότητα των πρώτων είναι όλο και μεγαλύτερη καθώς το πάει στο άπειρο τότε ο δείκτης θα έχει όλο και μεγαλύτερη διαφορά από τον και θα είναι μεγαλύτερος από το πλήθος των πρώτων στο διάστημα .

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι..

[loukaz7]

Λοιπόν αρχικά πρέπει να σας ευχαριστήσω όλους για το ενδιαφέρον που δείχνεται να με βοηθήσετε !!!
Τώρα για να απαντήσω στον κ. Λάμπρου.Θα ήθελα να πω τρία πράγματα: Αρχικά , πράγματι όταν έτρωγα μου ήρθε η ιδέα. Δεύτερον, πιστεύω πως από μόνη της η λέξη ''παρατήρησα'' παραπέμπει σε εικασία ( υπόθεση) και όχι σε απόδειξη, αλλά εφόσον θέλετε να το εκφράσω καθαρά : Εγώ απλά έχω βρει μερικά παραδείγματα για κάποιες τριάδες πρώτων και υπέθεσα ότι αυτό μπορεί να ισχύει και για μεγαλύτερες τριάδες. Τρίτον, για αυτό που είπα: '' μήπως έχω βρει κάτι πραγματικά σημαντικό'' πράγματι λάθος μου , αλλά σκέφτηκα : όλες οι μεγάλες ανακαλύψεις (όχι ότι αυτή είναι) ξεκινούν πάντα από κάτι ασήμαντο, οπότε...
Τέλος πάντων ευχαριστώ ξανά όσους ασχολήθηκαν έστω και λίγο με το πρόβλημα, αλλά θέλω να πω ( ιδιαίτερα στον Αρχιμήδη 6 ) ότι τώρα τελείωσα την ΄γ γυμνασίου και αυτό τον καιρό προετοιμάζομαι για τον επόμενο Αρχιμήδη Μεγάλων, οπότε δεν έχω χρόνο να κάτσω να ασχοληθώ με την απόδειξη του προβλήματος αυτού μιας και δεν έχω τα απαραίτητα '' όπλα '' για να το παλέψω. Εγώ δημοσίευσα εδώ αυτό το πρόβλημα, πρώτον για να δω αν είναι ήδη αποδεδειγμένο και δεύτερον , (αν δεν είναι ) μήπως μπορέσει κάποιος να το αποδείξει.
Καλή επιτυχία σε όσους ασχοληθούν με το πρόβλημα και εύχομαι να έδωσα την αφορμή για δημιουργικό χρόνο και σκέψη!!!

[Mihalis_Lambrou]

πιστεύω πως από μόνη της η λέξη ''παρατήρησα'' παραπέμπει σε εικασία ( υπόθεση) και όχι σε απόδειξη, αλλά εφόσον θέλετε να το εκφράσω καθαρά : Εγώ απλά έχω βρει μερικά παραδείγματα για κάποιες τριάδες πρώτων και υπέθεσα ότι αυτό μπορεί να ισχύει και για μεγαλύτερες τριάδες. Τρίτον, για αυτό που είπα: '' μήπως έχω βρει κάτι πραγματικά σημαντικό''

Καλά κάνεις και το διευκρινίζεις. Γι' αυτό άλλωστε ρώτησα, δεδομένου ότι την μία γράφεις ότι παρατήρησες ένα φαινόμενο και την άλλη λες ότι έχεις βρει κάτι σημαντικό. Επειδή δεν μου ήταν σαφές αν είχες πράγματι βρει κάτι, αφού πρώτα είχες διατυπώσει εικασία, ή αν έμεινες μόνο στην εικασία, ζήτησα διευκρίνιση. Τίποτα άλλο.

[loukaz7]

Εντάξει θα προσπαθώ άλλη φορά να λέω πιο ξεκάθαρα , τι εννοώ. Συγγνώμη αν δημιούργησα άθελά μου κάποια παρεξήγηση