Ὁρισμός τοῦ "πρώτου" ἀριθμοῦ

[ΤΣΑΪΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ]

Ἀλήθεια, ποιός εἶναι ὁ ὁρισμός τοῦ "πρώτου" ἀριθμοῦ ;

Ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται μόνο ἀπό τόν ἑαυτό του ; Ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται ἀπό τή μονάδα καί τόν ἑαυτό του ; Ἤ ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται μόνο ἀπό τή μονάδα ;

Πάντως, ὁ ὁρισμός πού δίνεται στό βιβλίο ζ΄ τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη (ὅρος ιβ΄) εἶναι ὁ ἑξῆς :

Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος .

Μήπως κάνω κάποιο λάθος ;

[Mihalis_Lambrou]

Ἀλήθεια, ποιός εἶναι ὁ ὁρισμός τοῦ "πρώτου" ἀριθμοῦ ;

Ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται μόνο ἀπό τόν ἑαυτό του ; Ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται ἀπό τή μονάδα καί τόν ἑαυτό του ; Ἤ ὁ ἀριθμός πού διαιρεῖται μόνο ἀπό τή μονάδα ;

Πάντως, ὁ ὁρισμός πού δίνεται στό βιβλίο ζ΄ τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη (ὅρος ιβ΄) εἶναι ὁ ἑξῆς :

Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος .

Μήπως κάνω κάποιο λάθος ;

Ο σωστός ορισμός πρώτου αριθμού είναι όταν διαιρείται μόνο από την μονάδα και τον εαυτό του. Με τον δεύτερο ορισμό (μονάδι μόνῃ μετρούμενος) δεν θα υπήρχε ούτε ένας πρώτος αφού όλοι οι αριθμοί διαιρούνται (και) με τον εαυτό τους.

Ο Ευκλείδης είχε κάτι άλλο στον νου, γι 'αυτό και ο φαινομενικά διαφορετικός ορισμός: Στα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά το δεν θεωρείτο αριθμός αφού ο ορισμός του αριθμού ήταν "εκ πλήθους μονάδων συγκείμενος". Εδώ το δεν θεωρείται από τον Ευκλείδη ότι αποτελείται από "πλήθος" μονάδων. Με άλλα λόγια δεν είναι αριθμός. Στα αρχαία κείμενα, όποτε χρειάζεται κάποια ιδιότητα του , αναφέρεται χωριστά.

Τώρα, επειδή (που δεν είναι αριθμός, κατά τους αρχαίους), η συνθήκη αυτή στον ορισμό πρώτου αριθμού κατά τον Ευκλείδη, περιττεύει. Δεν τον απασχολεί.

Εμείς σήμερα (αλλά και από την ύστερη αρχαιότητα) δεχόμαστε το ως αριθμό, οπότε στον ορισμό των πρώτων αριθμών χρειάζεται να κάνουμε μικρή τροποποίηση στον Ευκλείδειο ορισμό.

Κατά τα άλλα, το Μαθηματικό περιεχόμενο και η ουσία δεν αλλάζουν.

Ελπίζω να βοήθησα.

Μ.Λ.

[ΤΣΑΪΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ]

Ἀγαπητέ Κύριε Λάμπρου,
σᾶς εὐχαριστῶ ἰδιαιτέρως γιά τήν τόσο ἀναλυτική σας ἀναφορά στόν προβληματισμό μου.

Μοῦ δημιουργήθηκε ὅμως ἕνα ἄλλο ἐρωτηματικό ἀπό τήν ἀπάντησή σας:

Ο Ευκλείδης είχε κάτι άλλο στον νου, γι 'αυτό και ο φαινομενικά διαφορετικός ορισμός: Στα αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά το 1 δεν θεωρείτο αριθμός αφού ο ορισμός του αριθμού ήταν "εκ πλήθους μονάδων συγκείμενος". Εδώ το 1 δεν θεωρείται από τον Ευκλείδη ότι αποτελείται από "πλήθος" μονάδων. Με άλλα λόγια δεν είναι αριθμός. Στα αρχαία κείμενα, όποτε χρειάζεται κάποια ιδιότητα του 1, αναφέρεται χωριστά.

Συμφωνῶ ἀπολύτως μέ τήν ἀπάντησή σας. Αὐτό πού θεωρεῖται βέβαιο, εἶναι ὅτι ὁ Εὐκλείδης (ἐλπίζω ὅτι συμφωνεῖτε) ΔΕΝ κάνει λάθος. Ὁπότε, ἄν λάβομε ὑπ' ὄψη μας τόν ὅρο α΄ τοῦ βιβλίου ζ΄ τῶν Στοιχείων (μονάς ἐστιν καθ'ἥν ἕκαστον τῶν ὄντων ἕν λέγεται), τότε, ἐπειδή εἶναι ἀπολύτως βέβαιο ὅτι δέν ἐννοεῖ τόν ἀριθμό 1, μήπως πρέπει νά σκεφτοῦμε τό ἐνδεχόμενο ὅτι ἐννοεῖ ὡς μονάδα κάθε πρῶτο , ὁ ὁποῖος ἐξ ἄλλου δικαιολογεῖ καί τήν ἑρμηνεία τοῦ ιβ΄ ὅρου (... μονάδι μόνῃ μετρούμενος) ;;

Μιά τέτοια ἑρμηνεία, ἀφ' ἑνός μέν θά δικαιολογοῦσε καί τούς ὑποστηρικτές τῆς ἄποψης ὅτι ὁ ἀριθμός 1 δέν ἀποτελεῖ διαιρέτη κανενός ἀριθμοῦ, μηδέ τοῦ ἑαυτοῦ του ἐξαιρουμένου, ἀφ'ἑτέρου δέ, θά ἐνίσχυε τήν θέση μου ὅτι μονάδα εἶναι κάθε πρῶτος ἀριθμός δεδομένου ὅτι μόνο οἱ πρῶτοι πληροῦν τήν ἰδιότητα νά διαιροῦνται μόνῃ μονάδι δηλ. μόνο διά τοῦ ἑαυτοῦ τους.

Συμπληρωματικά, θά πρέπει νά λάβομε ὑπ' ὄψη μας ὅτι τόσο ἡ μονάς ὅσο καί ὁ ἀριθμός στά Στοιχεῖα τοῦ Εὐκλείδη, ὁρίζονται μέ εὐθύγραμμα τμήματα, ἄλλοτε μέ ἕνα (Α, Δ, κλπ) ἤ δύο γράμματα (ΑΒ, ΕΖ, κλπ.) καί ὄχι μέ ψηφία (1, 2 κλπ).

Δικαιολογημένο τό ἐρώτημά μου ;; ἤ ....

Εὐχαριστῶ καί πάλι, ἰδιαιτέρως

[Mihalis_Lambrou]

μήπως πρέπει νά σκεφτοῦμε τό ἐνδεχόμενο ὅτι ἐννοεῖ ὡς μονάδα κάθε πρῶτο

Απολύτως όχι. Είναι δεκάδες τα παραδείγματα στα αρχαία κείμενα που δείχνουν με σαφήνεια ότι δεν είναι αληθές το ενδεχόμενο που λες (π.χ. στην απόδειξη στα Στοιχεία ΙΧ, 36). Μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο.

Οι πρώτοι αριθμοί που θεωρούμε εμείς, σήμερα, είναι ακριβώς οι ίδιοι με του Ευκλείδη. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο σημερινός και ο αρχαίος ορισμός έχουν μικροδιαφορά γιατί έχουμε διαφορετική οπτική στο αν το είναι αριθμός.

[ΤΣΑΪΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ]

Απολύτως όχι. Είναι δεκάδες τα παραδείγματα στα αρχαία κείμενα που δείχνουν με σαφήνεια ότι δεν είναι αληθές το ενδεχόμενο που λες (π.χ. στην απόδειξη στα Στοιχεία ΙΧ, 36). Μπλέκεις τα πράγματα χωρίς λόγο.

Τό θεώρημα 36, ἀγαπητέ κύριε Μιχάλη, ἀναφέρεται στούς τέλειους ἀριθμούς καί σέ παρακαλῶ, δῶσε μου νά καταλάβω, ποῦ κάνω λάθος καί ποιό εἶναι τό ἀληθές;; Ποιά πράγματα μπλέκω ;;

Σέ παρακαλῶ, βοήθησέ με νά καταλάβω καί νά ἀναθεωρήσω τίς ἀπόψεις μου ...

Πάντως, ξανασκέψου το !!! ὁ Εὐκλείδης, σίγουρα, δέν ἐννοεῖ κάτι ἄλλο, παρά μόνο ὅτι "μονάς ἐστιν καθ' ἥν ἕκαστον τῶν ὄντων ἕν λέγεται" (ὅρος α΄) ... Δηλαδή, ἕνα δένδρο, ἕνας ἄνθρωπος, ἕνα ἀεροπλάνο, εἶναι ξεχωριστές μονάδες (νοητές καί ἄϋλες βέβαια, ὄχι ὑλικές). Αὐτές δέν εἶναι τίποτε ἄλλο, ἐκτός ἀπό διαφορετικούς πρώτους ἀριθμούς.

Ὅσο γιά τούς τέλειους, σίγουρα, ὑπάρχει σχἐση μέ τίς δυνάμεων τοῦ 2, πού βρίσκονται πράγματι σέ συνεχῆ ἀναλογία μέ λόγο 1:2 κλπ, κλπ.

Ἄλλο ὅμως πῶς σχηματίζονται οἱ τέλειοι καί ἄλλο ὅτι τό 2, τό 3, τό 5 κλπ, κλπ εἶναι μονάδες ... Μονάδα δέν εἶναι ὁ ἀριθμός 1, ἀλλά κάθε ὄν πού λέγεται ἕν ...

Κύριε Μιχάλη Λάμπρου, εἰλικρινά, θά μέ βοηθήσετε σέ μεγάλο βαθμό, ἄν προσθέσετε τή συμβολή σας στήν κατανόηση τῆς σχέσης μονάδος, ὄντος καί πρώτου ἀριθμοῦ ...

Μέ εἰλικρινή ἐκτίμηση,

[Mihalis_Lambrou]

Τό θεώρημα 36, ἀγαπητέ κύριε Μιχάλη, ἀναφέρεται στούς τέλειους ἀριθμούς

Όχι μόνο! Το θεώρημα λέει ότι αν κάποιος αριθμός είναι πρώτος (*), τότε κάποιος άλλος (**) είναι τέλειος. Με άλλα λόγια, η έννοια του πρώτου αριθμού είναι μέρος της διατύπωσης. Δεν το βλέπεις;

Γιώργο, λυπάμαι αλλά δεν θα επανέλθω στο θέμα. Θα παρακαλούσα πρώτα να ξεκαθαρίσεις μερικά αυτονόητα θέματα, και μετά με χαρά θα συνεχίζουμε την συζήτηση. Για την ώρα δεν έχω την γλώσσα επικοινωνίας ώστε να συνεχίσω τώρα. Ειδικά, ξεκαθάρισε στο μυαλό σου τι είναι πρώτος αριθμός, και μετά τα λέμε.

... Δηλαδή, ἕνα δένδρο, ἕνας ἄνθρωπος, ἕνα ἀεροπλάνο, εἶναι ξεχωριστές μονάδες (νοητές καί ἄϋλες βέβαια, ὄχι ὑλικές). Αὐτές δέν εἶναι τίποτε ἄλλο, ἐκτός ἀπό διαφορετικούς πρώτους ἀριθμούς.

Ούτε συζήτηση!

Μ.

(*) o
(**) o