διαιρετοί με τετράγωνα! (Δελτίο 12)

algal · #1

Έστω

θετικός ακέραιος. Αποδείξτε ότι υπάρχουν

το πλήθος διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι καθένας από τους οποίους διαιρείται με ένα τουλάχιστον τετράγωνο ακεραίου μεγαλύτερου του

.

#2

Συμβολίζουμε με p(m)

το

-οστό πρώτο αριθμό.

Αφού οι αριθμοί $p(i), \ 1\leq i\leq m$ είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο, άρα από το κινέζικο θεώρημα υπολοίπων υπάρχει ακέραιος αριθμός

ο οποίος είναι κοινή λύση των

σε πλήθος ισοτιμιών: $k\equiv -i \pmod{p^2(i)}, \ 1\leq i \leq m$

δηλαδή των

$k\equiv -1 \pmod{p^2(1)} \ \ (1)$
$k\equiv -2 \pmod{p^2(2)} \ \ (2)$
$k\equiv -3 \pmod{p^3(3)} \ \ (3)$
$\vdots$
$k\equiv -m\pmod{p^2(m)} \ \ (m)$

Τότε όμως

από τη σχέση (1)

έχουμε: $k+1\equiv 0 \pmod{p^2(1)}$
από τη σχέση (2)

έχουμε: $k+2\equiv 0 \pmod{p^2(2)}$
από τη σχέση (3)

έχουμε: $k+3\equiv 0 \pmod{p^3(3)}$
$\vdots$
από τη σχέση (m)

έχουμε: $k+m\equiv 0\pmod{p^2(m)}$

Οπότε κάθε ένας από τους παραπάνω

διαδοχικούς ακέραιους $k+i, 1\leq i \leq m$ διαιρείται από το τετράγωνο του αντίστοιχου πρώτου αριθμού p(i)

.

Αλέξανδρος

algal · #3

διαιρετοί με τετράγωνα! (Δελτίο 12)

διαιρετοί με τετράγωνα! (Δελτίο 12)

Re: διαιρετοί με τετράγωνα!

Re: διαιρετοί με τετράγωνα!

Μέλη σε σύνδεση