Πώς να δείξετε ότι το AEF και το CED είναι παρόμοια χρησιμοποιώντας εφαπτομένη

[Παναγιώτης Λάσκαρης]

Έστω ABCD ένα κυρτό κυκλικό τετράπλευρο με διαγώνιους AC και BD που τέμνονται στο E. Οι εφαπτομένες στον περιγεγραμμένο κύκλο στα A και C τέμνονται στο T, και ας υποθέσουμε AB=BC και ∠BAD=40. Αν η ευθεία TE τέμνει την AD στο F, πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα AEF και CED είναι όμοια; Υποψιάζομαι ότι εμπλέκεται ένα συμμετροδιάμεσο ή ισογώνιο επιχείρημα λόγω των εφαπτομένων, αλλά η αναζήτηση γωνίας γίνεται περίπλοκη. Υπάρχει μια πιο καθαρή δομική ιδέα, όπως η σπειροειδής ομοιότητα στο E, που απλοποιεί την απόδειξη Geometry Dash;

[Mihalis_Lambrou]

Έστω ABCD ένα κυρτό κυκλικό τετράπλευρο με διαγώνιους AC και BD που τέμνονται στο E. Οι εφαπτομένες στον περιγεγραμμένο κύκλο στα A και C τέμνονται στο T, και ας υποθέσουμε AB=BC και ∠BAD=40. Αν η ευθεία TE τέμνει την AD στο F, πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα AEF και CED είναι όμοια; Υποψιάζομαι ότι εμπλέκεται ένα συμμετροδιάμεσο ή ισογώνιο επιχείρημα λόγω των εφαπτομένων, αλλά η αναζήτηση γωνίας γίνεται περίπλοκη. Υπάρχει μια πιο καθαρή δομική ιδέα, όπως η σπειροειδής ομοιότητα στο E, που απλοποιεί την απόδειξη Geometry Dash;

Καλώς ήλθες στο mathematica.

Με την ευκαιρία ας επισημάνω ότι, ορθότατα, οι κανονισμοί μας σημειώνουν ρητά ότι τα μηνύματα πρέπει να γράφονται σε Latex, αλλιώς οι Γενικοί Συντονιστές μπορεί να τα σβήσουν και μαζί με αυτά και τις απαντήσεις που έχουν προκαλέσει. Υποθέτω ότι εδώ θα κάνουν εξαίρεση αφού είναι το πρώτο σου μήνυμα, αλλά το λέω για τα μελλοντικά μηνύματα.

Επίσης, καλό είναι ο τίτλος να είναι πιο εύστοχος. Π.χ. να μην σχοινοτενής και να μην αναφέρεται σε σχήματα που δεν έχουν οριστεί σε εκείνο το στάδιο.

Αναφέρεσαι σε "σπειροειδή ομοιότητα". Πρώτη φορά βλέπω το όρο. Μπορείς να γίνεις σαφέστερος;

Και επί της ουσίας τώρα: Επισυνάπτω το σχήμα του προβλήματος (αν το κατάλαβα σωστά) σχεδιασμένο με λογισμικό ακριβείας. 'Οπως θα δεις, τα τρίγωνα και δεν είναι όμοια. Αυτό είναι πρόδηλο από το σχήμα, που βέβαια δίνει μόνο μία ιδέα της κατάστασης, αλλά μπορεί να τεκμηριωθεί απλά από γεωμετρικά επιχειρήματα. Με άλλα λόγια, το ζητούμενο δεν ισχύει.
.