Ο κύκλος στη μια μεριά.

αρψ2400 · #1

Κύκλος ακτίνας

ευρίσκεται εντός ορθογωνίου παραλληλογράμμου $6\times 3$ .Ευθύγραμμο τμήμα με άκρα στην περίμετρο του ορθογωνίου , χωρίζει το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σε δύο μέρη αφήνοντας ολόκληρο τον κύκλο στο ένα από τα δύο. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να έχει το εμβαδόν , του τμήματος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που δεν περιέχει τον κύκλο;

add2math · #2

Εύλογο είναι να θεωρήσουμε ότι ο κύκλος θα εφάπτεται σε δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου ("στριμωγμένος στην μεριά του") καθώς και στο ευθύγραμμο τμήμα, ώστε να δεσμεύουμε όσο το δυνατόν περισσότερο εμβαδόν για το χωρίο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που δεν περιέχει τον κύκλο. Λιγότερο εύλογο είναι (αλλά είναι) να θεωρήσουμε ότι τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος βρίσκονται στις πλευρές μήκους 6 και όχι μήκους 3.
Συνεπώς έχουμε το παρακάτω σχήμα στο οποίο εφοδιάζουμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy

με κέντρο Ο το κέντρο του κύκλου και άξονες παράλληλους στις πλευρές του ορθογωνίου.

: Ο κύκλος στη μια μεριά.png (46.55 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Η εξίσωση του κύκλου είναι x^2+y^2=1

οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο

του κύκλου αυτού είναι x_Ex+y_Ey=1

.
Η εφαπτομένη τέμνει την πλευρά

στο σημείο $F(\frac{1+y_E}{x_E},-1)$ και την πλευρά

στο σημείο $G(\frac{1-2y_E}{x_E},2)$

Συνεπώς το εμβαδόν του τραπεζίου $(FGCD)=\frac{(DF+CG)CD}{2}=\frac{3(x_F+1+x_G+1)}{2}=\frac{3}{2}\frac{2-y_E}{x_E}+3=\frac{3}{2}\frac{2-y_E}{\sqrt{1-y^2_E}}+3$
Η συνάρτηση $f(y)=\frac{3}{2}\frac{2-y}{\sqrt{1-y^2}}+3$ έχει παράγωγο $f'(y)=\frac{3}{2}\frac{2y-1}{(1-y^2)^\frac{3}{2}}$ που μηδενίζεται όταν y=1/2

Άρα για $E(\sqrt{3}/2,1/2)$ το εμβαδόν του τραπεζίου (FGCD)

παίρνει την ελάχιστη τιμή του, $f(\frac{1}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}+3$ .
Τελικά το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου $(FGBA)=(ABCD)-(FGCD)=15-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 12,40192$
Αξιοσημείωτο ότι OG//CD

Ο κύκλος στη μια μεριά.

Ο κύκλος στη μια μεριά.

Re: Ο κύκλος στη μια μεριά.

Μέλη σε σύνδεση