Αντίστροφοι λόγοι

KARKAR · #1

: Αντίστροφοι λόγοι.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 1456 φορές

Σημείο

κινείται στην βάση

, τριγώνου ABC

. Στις πλευρές AB , AC

, θεωρούμε σημεία P , Q

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BP=BS , CQ=CS

. Εξετάστε αν αληθεύει η εικασία , ότι η απόσταση

, του

από την ευθεία

, μεγιστοποιείται όταν οι λόγοι : $\dfrac{BS}{SC} , \dfrac{PT}{TQ}$ , καταστούν αντίστροφοι

#2

To θέμα αυτό ξεκλειδώνεται από ένα λήμμα που λογικά είναι γνωστή άσκηση, αν όχι ευχαρίστως να επανέλθω:

ΛΗΜΜΑ: Σε τρίγωνο ABC

ύψους

ισχύουν οι $(AD)=\dfrac{(AB)(AC)sin\alpha}{\sqrt{(AB)^2+(AC)^2-2(AB)(AC)cos\alpha}}$ και $\dfrac{(BD)}{(CD)}=\dfrac{|(AB)[(AB)-(AC)cos\alpha]|}{|{}(AC)[(AC)-(AB)cos\alpha]|}.$

Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στο τρίγωνο PSQ,

με σταθερή γωνία $PSQ = \dfrac{\beta +\gamma}{2},$ στο οποίο από Νόμο Συνημιτόνων (στα τρίγωνα PBS, QCS

) ισχύουν οι $(PS)=2sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)s, (QS)=2sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)(a-s),$ όπου s=(BS), a=(BC),

λαμβάνουμε

$(ST)=\dfrac{2\left[sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)sin\left(\dfrac{\beta +\gamma}{2}\right)\right]s(a-s)}{\sqrt{sin^2\left(\dfrac{\beta}{2}\right)s^2+sin^2\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)(a-s)^2-2\left[sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)sin\left(\dfrac{\gamma} {2}\right)cos\left(\dfrac{\beta +\gamma}{2}\right)\right]s(a-s)}}$

και

$\dfrac{(PT)}{(QT)}=\dfrac{sin^2\left(\dfrac{\beta}{2}\right)s^2-\left[sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)sin\left(\dfrac{\gamma} {2}\right)cos\left(\dfrac{\beta +\gamma}{2}\right)\right]s(a-s)}{sin^2\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)(a-s)^2-\left[sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)sin\left(\dfrac{\gamma} {2}\right)cos\left(\dfrac{\beta +\gamma}{2}\right)\right]s(a-s)}}}.$

Παρατηρούμε εδώ ότι η "αντιστροφή των λόγων" $\dfrac{(PT)}{(QT)}=\dfrac{(CS)}{(BS)}$ είναι ισοδύναμη προς την

$sin^2\left(\dfrac{\beta}{2}\right)s^3-sin^2\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)(a-s)^3=\left[sin\left(\dfrac{\beta}{2}\right)sin\left(\dfrac{\gamma} {2}\right)cos\left(\dfrac{\beta +\gamma}{2}\right)\right]s(a-s)(2s-a),$

που είναι επίσης ισοδύναμη προς τον μηδενισμό της παραγώγου (του τετραγώνου) της ως προς

συνάρτησης ύψους (ST)!

[O προσεκτικός αναγνώστης θα αναρωτηθεί πως και γιατί αφαιρέθηκαν οι απόλυτες τιμές του λήμματος από τον τύπο για τον λόγο $\dfrac{(PT)}{(QT)}:$ δεν έχω άμεση απάντηση επ' αυτού, άλλωστε έλυσα αρχικά το πρόβλημα χωρίς να έχω βάλει απόλυτες τιμές στο λήμμα, διαισθάνομαι (!) πως οι εντός αυτών παραστάσεις είναι ούτως ή άλλως θετικές όταν το ύψος

τείνει να μεγιστοποιηθεί, ας το σκεφτώ/σκεφτούμε και εκ των υστέρων, ή τέλος πάντων ας προσεγγίσουμε το όλο πρόβλημα εντελώς διαφορετικά αν μπορούμε... (Επίσης δεν μπήκα στον κόπο να βεβαιωθώ ότι ο μηδενισμός της παραγώγου αντιστοιχεί σε μέγιστο και όχι ελάχιστο

)]

#3

... Φοβόμουν για αντιπαράδειγμα (!) με αμβλεία γωνία στο

πλην όμως στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

με $\alpha = \gamma = 30^0, \beta = 120^0,$ και AB=BC=1

... τόσο η παράγωγος της

όσο και η τριτοβάθμια της αρχικής δημοσίευσης μου (#2) δίνουν μέγιστο $ST\approx 0,33$ για $s\approx 0,2924,$ όπου όντως $\dfrac{(PT)}{(QT)}=\dfrac{(CS)}{(BS)}\approx 2,42.$

[Ελπίζω να επανέλθω ... όσον αφορά τις επιφυλάξεις μου στην τελευταία παράγραφο της προηγούμενης δημοσίευσης μου

]

: αντίστροφοι-λόγοι.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 02, 2025 6:17 pm
[O προσεκτικός αναγνώστης θα αναρωτηθεί πως και γιατί αφαιρέθηκαν οι απόλυτες τιμές του λήμματος από τον τύπο για τον λόγο $\dfrac{(PT)}{(QT)}:$ δεν έχω άμεση απάντηση επ' αυτού, άλλωστε έλυσα αρχικά το πρόβλημα χωρίς να έχω βάλει απόλυτες τιμές στο λήμμα, διαισθάνομαι (!) πως οι εντός αυτών παραστάσεις είναι ούτως ή άλλως θετικές όταν το ύψος τείνει να μεγιστοποιηθεί, ας το σκεφτώ/σκεφτούμε και εκ των υστέρων, ή τέλος πάντων ας προσεγγίσουμε το όλο πρόβλημα εντελώς διαφορετικά αν μπορούμε... (Επίσης δεν μπήκα στον κόπο να βεβαιωθώ ότι ο μηδενισμός της παραγώγου αντιστοιχεί σε μέγιστο και όχι ελάχιστο )]

Πράγματι έτσι έχουν τα πράγματα! Στο συγκεκριμένο παράδειγμα της αμέσως προηγούμενης δημοσίευσης μου (#3) ο λόγος $\dfrac{PT}{QT}\approx \left|\dfrac{0,75s^2-0,058s(1-s)}{0,067(1-s)^2-0,058s(1-s)}\right|$ μηδενίζεται για $s\approx 0,07178,$ όταν δηλαδή η γωνία SPQ

είναι ορθή:

: μηδενισμός-λόγου.png (42.87 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Συνεχίζω με γράφημα του ύψους $ST\approx \dfrac{0,433s(1-s)}{\sqrt{0,75s^2+0,058(1-s)^2-0,116s(1-s)}}:$

: ύψος-ST.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

Τελειώνω με γράφημα των τριών συναρτήσεων $\dfrac{PT}{QT},$ $\dfrac{CS}{BS}=\dfrac{1-s}{s},$

στο 'κρίσιμο' διάστημα [0,25, 0,35],

όπου ναι μεν το ύψος μεγιστοποιείται ακριβώς όταν οι δύο λόγοι είναι ίσοι ( $s\approx 0,2924$ ), φαίνεται όμως σαν σταθερή συνάρτηση λόγω ελάχιστης μεταβολής του σε σχέση με τα άλλα μεγέθη:

: ύψος-και-λόγοι.png (52.57 KiB) Προβλήθηκε 1225 φορές

... Εξακολουθούμε να μην έχουμε πλήρη απόδειξη της Εικασίας KARKAR -- θα είχαμε αν μπορούσαμε πχ να εξασφαλίσουμε ότι το μέγιστο ύψος

επιτυγχάνεται σε οξυγώνιο τρίγωνο SPQ

(όπου όντως μπορούμε να αφαιρέσουμε τις απόλυτες τιμές) -- αλλά ελπίζω να επανέλθω αν δεν με προλάβουν άλλοι

Αντίστροφοι λόγοι

Αντίστροφοι λόγοι

Re: Αντίστροφοι λόγοι

Re: Αντίστροφοι λόγοι

Re: Αντίστροφοι λόγοι

Μέλη σε σύνδεση