Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ με γνωστές πλευρές a=BC

,

και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή

και το έγκεντρο του τριγώνου $\triangle ABC$ ,
τέμνοντας τις πλευρές AB,AC

όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί το τμήμα $\color{red}\lambda$ ως συνάρτηση του τμήματος $\color{red}\xi$ (και των παραμέτρων a,b,c

)

S.E.Louridas · #2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2024 7:57 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ με γνωστές πλευρές , ,
και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή και το έγκεντρο του τριγώνου $\triangle ABC$ ,
τέμνοντας τις πλευρές όπως στο σχήμα.
Να υπολογιστεί το τμήμα $\color{red}\lambda$ ως συνάρτηση του τμήματος $\color{red}\xi$ (και των παραμέτρων )

Αν ονομάσουμε

το έκκεντρο και D, E

τις τομές του κύκλου του σχήματος με τις πλευρές AB, AC

αντίστοιχα

και θεωρήσουμε τις κάθετες IH, IZ

στις πλευρές AB, AC

αντίστοιχα, τότε θα έχουμε $AH=AZ=\tau - a$ ,

άρα από το θεώρημα του MacLauren παίρνουμε: $\displaystyle{\frac{c-\lambda +b-\xi }{2} =\tau - a,}$ οπότε $\lambda=a-\xi.$

#3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2024 7:57 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ με γνωστές πλευρές , ,
και κύκλος ο οποίος διέρχεται από την κορυφή και το έγκεντρο του τριγώνου $\triangle ABC$ ,
τέμνοντας τις πλευρές όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί το τμήμα $\color{red}\lambda$ ως συνάρτηση του τμήματος $\color{red}\xi$ (και των παραμέτρων )

O δοσμένος κύκλος τέμνει τις AB, AC

στα

αντίστοιχα και ο κύκλος $(B, \lambda)$ την

στο

: ΙΚΩ.png (21.96 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Προφανώς τα τρίγωνα BDI, BFI

είναι ίσα και λόγω του εγγεγραμμένου ADIE,

οι πορτοκαλί γωνίες

είναι ίσες και ID=IE=IF.

Άρα και τα τρίγωνα CEI, CFI

θα είναι ίσα οπότε $\boxed{a = \lambda + \xi }$

Άλλη εκφώνηση: Δύο κύκλοι με κέντρα εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο της πλευράς τριγώνου
και τέμνουν τις στα αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ο περίκυκλος του τριγώνου διέρχεται από
το έγκεντρο του

Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Re: Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Re: Κύκλος κορυφής και εγκέντρου

Μέλη σε σύνδεση