Μέγιστος - ελάχιστος εγγεγραμμένος κύκλος

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους 1,2,4,3

Έστω $\color{red}r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της $\color{red}r$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Δευ Απρ 29, 2024 10:19 pm
Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους
Έστω $\color{red}r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της $\color{red}r$

Επειδή το

είναι περιγεγραμμένο, το εμβαδόν του

είναι $E=\tau\cdot r=5r.$ Η ακτίνα μεγιστοποιείται όταν και

το εμβαδόν γίνει μέγιστο, όταν δηλαδή καταστεί εγγράψιμο. Τότε, $\displaystyle 5r = \sqrt {(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} = 24.$

Άρα, $\boxed{\sup \left\{ r \right\} = \max \left\{ r \right\} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}}$ (Σχ.1)

: sup-inf.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

Το

δεν έχει ελάχιστη τιμή. Έχει όμως μέγιστο κάτω φράγμα όταν το ABCD

εκφυλιστεί σε τρίγωνο. Εύκολα

διαπιστώνουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν $D\widehat AB=180^\circ($ Σχ.2

Τότε, $\displaystyle 5r = \sqrt {5(5 - 4)(5 - 4)(5 - 2)} = \sqrt {15}$

Άρα, $\boxed{\inf \left\{ r \right\} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}}$

Μέγιστος - ελάχιστος εγγεγραμμένος κύκλος

Μέγιστος - ελάχιστος εγγεγραμμένος κύκλος

Re: Μέγιστος - ελάχιστος εγγεγραμμένος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση