Ελαχιστοποίηση αμβλείας

#1

: Ελαχιστοποίηση αμβλείας.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

είναι η διχοτόμος και

το ύψος τριγώνου ABC.

Αν

να βρείτε το είδος του

τριγώνου για το οποίο ελαχιστοποιείται η γωνία $E\widehat DC=\theta,$ καθώς και την ελάχιστη τιμή της $\tan \theta.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 16, 2024 1:24 pm
Ελαχιστοποίηση αμβλείας.png
είναι η διχοτόμος και το ύψος τριγώνου Αν να βρείτε το είδος του

τριγώνου για το οποίο ελαχιστοποιείται η γωνία $E\widehat DC=\theta,$ καθώς και την ελάχιστη τιμή της $\tan \theta.$

Για το α)

Θεωρώ σταθερό ευθύγραμμο τμήμα

. Και προς το αυτό μέρος , το ημικύκλιο διαμέτρου

και το ημικύκλιο διαμέτρου

με

το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα B,C

..

Δηλαδή η τετράδα : $\left( {B,C\backslash J,D} \right)$ να είναι αρμονική .

: Ελαχιστοποίηση αμβλείας.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Το μεν

ανήκει σ αυτό το ημικύκλιο. Επί της ουσίας έχω Απολλώνιο ημικύκλιο, το δε

στο διαμέτρου

..

Για να πετύχω το ελάχιστο της γωνίας $\theta$ , η

γίνεται εφαπτομένη του Απολλώνιου ημικυκλίου .

Τώρα αναγκαστικά λόγω της αρμονικότητας θα είναι $AB \bot BC$ . Δηλαδή το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο στο

.

β) Επειδή θέλω να υπολογίσω τριγωνομετρικό αριθμό επιλέγω κατάλληλο κάποιο σταθερό μήκος . Εδώ π.χ. θεωρώ BC = 6

και προκύπτουν αβίαστα τα νούμερα που φαίνονται στο σχήμα .

Έχω ακόμα : $BE = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{3}{2}$ , $ED = \sqrt 7$ ( Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle EBD$ ). $EC = 3\sqrt 3$ (Π. Θ. στο $\vartriangle EBC$ ). Μετά από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle EDC$ έχω :

: Ελαχιστοποίηση αμβλείας_Υπολογισμός_ok.png (27.16 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

$\cos \theta = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 7 }} < 0$ και άρα η γωνία $\theta$ είναι αμβλεία . Έτσι από τον γνωστό τύπο , ${\tan ^2}\theta = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\theta }} - 1$ , προκύπτει: $\boxed{\tan \theta = - 3\sqrt 3 }$ .

abgd · #3

Από το νόμο ημιτόνων....

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι $\displaystyle{\sin{C}=\frac{1}{2}\sin{B}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{DEC}$ είναι $\displaystyle{\frac{\sin{(C+\theta)}}{DC}=\frac{\sin{\theta}}{EC}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{DEB}$ είναι $\displaystyle{-\frac{\cos{(C+\theta)}}{BD}=\frac{\sin{\theta}}{BE}}$

Διαιρώντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψιν ότι $\displaystyle{\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}}$ και ότι $\displaystyle{\tan{C}=\frac{BE}{EC}}$ έχουμε

$\displaystyle{\tan{(C+\theta)}=-2\tan{C}}$

Επιλύοντας ως προς $\displaystyle{\tan{\theta}}$ .... $\displaystyle{\tan{\theta}=\frac{3\tan{C}}{2\tan^2{C}-1}}$

Όμως $\displaystyle{\sin{C}=\frac{1}{2}\sin{B}}$ και έτσι η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{\sin{C}}$ είναι $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ , όταν $\displaystyle{B=90^o}$ , $\displaystyle{C=30^o}$ .

Η μέγιστη τιμή της $\displaystyle{\tan{C}}$ θα είναι $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Δεδομένου ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{3x}{2x^2-1}, x\in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right]}$ είναι γνησίως φθίνουσα,

η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan{\theta}}$ , θα συμβεί όταν η $\displaystyle{\tan{C}}$ έχει την μέγιστη τιμή της

Άρα η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\tan{\theta}}$ επιτυγχάνεται στο ορθογώνιο τρίγωνο και είναι ίση με $\displaystyle{-3\sqrt{3}}$

Ελαχιστοποίηση αμβλείας

Ελαχιστοποίηση αμβλείας

Re: Ελαχιστοποίηση αμβλείας

Re: Ελαχιστοποίηση αμβλείας

Μέλη σε σύνδεση