Δύσκολη εξηντάρα

KARKAR · #1

: Δύσκολη εξηντάρα.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Οι κύκλοι (B,3)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

. Να εντοπισθεί σημείο

, τέτοιο ώστε :

$\widehat{BAC}=60^0$ και αν οι AB , AC

, τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία S , T

, να είναι : $ST \parallel BC$ .

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle ST\parallel BC\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BS}{TC}=\frac{3}{4}=\frac{\sin \left ( 60^\circ+\angle SBP \right )}{\sin \angle SBP}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cot \angle SBP+\frac{1}{2}.$

Οπότε $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cot \angle SBP=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \cot \angle SBP=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \cos \angle SBP=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}=\frac{1}{\sqrt{13}}.$

Άρα $\displaystyle SP^{2}=3^{2}+3^{2}-2\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{13}}{13}=\frac{18\cdot 13-18\sqrt{13}}{13}\Leftrightarrow SP=\frac{\sqrt{18\sqrt{13}\left ( \sqrt{13}-1 \right )}}{\sqrt{13}}.$

Άρα το

προσδιορίζεται ως η μία από τις δύο τομές του κύκλου $\displaystyle \left ( P,\frac{\sqrt{18\sqrt{13}\left ( \sqrt{13}-1 \right )}}{\sqrt{13}} \right )$ με τον κύκλο $\left ( B,3 \right ).$

Επίσης $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cot \angle TCP+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\cot \angle TCP=\frac{5}{6}\Leftrightarrow \cot \angle TCP=\frac{5\sqrt{3}}{9}\Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \cos \angle TCP=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{156}}=\frac{5}{\sqrt{52}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}.$

Συνεπώς $\displaystyle PT^{2}=4^{2}+4^{2}-2\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{5\sqrt{13}}{26}=\frac{32\cdot 13-16\cdot 5\sqrt{13}}{13}\Leftrightarrow PT=\frac{\sqrt{16\sqrt{13}\left ( 2\sqrt{13}-5 \right )}}{\sqrt{13}}.$

Οπότε , το

προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου $\displaystyle \left ( P,\frac{\sqrt{16\sqrt{13}\left ( 2\sqrt{13}-5 \right )}}{\sqrt{13}} \right )$ με τον κύκλο $\left ( C,4 \right )$ , τέτοια ώστε τα S,T

να ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο της ευθείας BC.

Επομένως, το

προσδιορίζεται ως η τομή των ευθειών BS,CT.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 5:08 pm
Δύσκολη εξηντάρα.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Να εντοπισθεί σημείο , τέτοιο ώστε :

$\widehat{BAC}=60^0$ και αν οι , τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία , να είναι : $ST \parallel BC$ .

: Δύσκολη εξυντάρα_Γεωμετρική κατασκευή.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές

Κατασκευάζω ( Βόρεια ) τόξο χορδής

που να δέχεται γωνία $60^\circ$ ( αρκεί να γράψω περιγεγραμμένο κύκλο ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς BC = 7

).

Ο Απολλώνιος κύκλος για κάθε σημείο

του οποίου : $\dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{3}{4}$ τέμνει το προαναφερθέν τόξο , στο σημείο

.

Παρατήρηση .

Στην πράξη για να μην μπερδεύεστε με τον Απολλώνιο κύκλο , γράψετε ημικύκλιο διαμέτρου : .

Το επί της ουσίας είναι το αρμονικό συζυγές του ως προς τα $B\,\,,\,\,C$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 5:08 pm
Δύσκολη εξηντάρα.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Να εντοπισθεί σημείο , τέτοιο ώστε :

$\widehat{BAC}=60^0$ και αν οι , τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία , να είναι : $ST \parallel BC$ .
[/quot

Εστω Τότε $\dfrac{ST}{7}=\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{y}{y+4}\Leftrightarrow 3y=4x,ST=\dfrac{7x}{x+3}$ και απο νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $AST,x+3=\dfrac{21\sqrt{13}}{13}=AB,AC=\dfrac{4x}{3}+4=\dfrac{4}{3}+\dfrac{28\sqrt{13}}{13},$ Οπότε το τρίγωνο
κατασκευάζεται γιατί γνωρίζουμε τις τρείς πλευρές του

S.E.Louridas · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 5:08 pm
Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Να εντοπισθεί σημείο , τέτοιο ώστε :
$\widehat{BAC}=60^0$ και αν οι , τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία , να είναι : $ST \parallel BC$ .

Αν και η 60-ρα είναι δύο 30-ρες...
Θεωρούμε ότι το πρόβλημα είναι τίμιο και κάπως γενικότερα για κύκλους (B,R), (C,r).

Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο SDCT.

Το τρίγωνο SBD

είναι σταθερού μεγέθους σε όποια θέση στο επίπεδο και αν το κατασκευάσουμε.
Άρα και το τμήμα

θα είναι σταθερό. Συνεπώς το

θα είναι η τομή των κύκλων (B,R), (D,r).

: aq.png (59.43 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

edit: Tοποθέτηση σχήματος

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 03, 2023 5:08 pm
Δύσκολη εξηντάρα.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Να εντοπισθεί σημείο , τέτοιο ώστε :

$\widehat{BAC}=60^0$ και αν οι , τέμνουν τους δύο κύκλους στα σημεία , να είναι : $ST \parallel BC$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι 4x=3y.

: Δύσκολη εξηντάρα.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 1020 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ABC,

$\displaystyle 49 = {(x + 3)^2} + {(y + 4)^2} - (x + 3)(y + 4)$

Λύνοντας το σύστημα βρίσκω τα x,y

και τελικά $\boxed{(AB,AC) = \left( {\frac{{21}}{{\sqrt {13} }},\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}} \right)}$

Δύσκολη εξηντάρα

Δύσκολη εξηντάρα

Re: δύσκολη εξηντάρα

Re: Δύσκολη εξηντάρα

Re: Δύσκολη εξηντάρα

Re: Δύσκολη εξηντάρα

Re: Δύσκολη εξηντάρα

Μέλη σε σύνδεση