Η αδύνατη ισότητα

KARKAR · #1

: Η αδύνατη ισότητα.png (7.08 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, η

είναι διχοτόμος , ενώ το

είναι σημείο της

,

τέτοιο ώστε : AB+BS=AC+CS

. Υπάρχει περίπτωση να είναι : BD=CS

;

Henri van Aubel · #2

Καλημέρα.

Είναι γνωστό $\displaystyle BD=\frac{ac}{b+c}.$ Επιπλέον, $\displaystyle BS-CS=2BS-a=b-c\Leftrightarrow BS=\frac{a+b-c}{2}.$

Πρέπει $\displaystyle\frac{ac}{b+c}=\frac {a+c-b}{2}$

Πρέπει δηλαδή $a\left ( b+c \right )-b^{2}+c^{2}=2ac\Leftrightarrow c^{2}-ac-b(b-a)=0$ τριώνυμο ως προς

Έχουμε λοιπόν $D=a^{2}+4b(b-a)=(a-2b)^{2} \geq 0$ . Παίρνουμε περιπτώσεις:

1η ) D> 0

τότε a) $\displaystyle c=\frac{a+\left | a-2b \right |}{2}$ Αν $\displaystyle a\geq 2b\Rightarrow c=\frac{2a-2b}{2}\Leftrightarrow a-b=c$ άτοπο από τριγωνική ανισότητα. Αν $\displaystyle a< 2b\Rightarrow c=\frac{2b}{2}=b$ άτοπο από υπόθεση.

β) $\displaystyle c=\frac{a-\left | a-2b \right |}{2}$ Αν $a\geq 2b\Rightarrow c=b$ άτοπο από υπόθεση και αν $a< 2b\Rightarrow c=a-b$ άτοπο από τριγωνική ανισότητα

2η) D=0

τότε $\displaystyle c=\frac{a}{2}$ άτοπο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Δεν γίνεται.

: Αδύνατη ισότητα.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

Αν ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται της

στο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι BS=EC

και

Για να συμβεί η ισότητα θα πρέπει τα E, D

να ταυτίζονται, δηλαδή AB=AC

που αντίκειται στην υπόθεση.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Εστω $BE\perp AD\Rightarrow AB=AE=c,EC=b-c,$

$AB+SB=AC+CS\Rightarrow DS=b-c,BD=SC$

$\hat{BAD}=\hat{DAC}=\hat{ADB}=\omega \Rightarrow \hat{DAC}+\hat{ADC}=180$

Ατοπο γιατι AC,DC

τέμνονται και $\hat{DAC}+\hat{ADC}< 180$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:24 am
Η αδύνατη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο , με : , η είναι διχοτόμος , ενώ το είναι σημείο της ,

τέτοιο ώστε : . Υπάρχει περίπτωση να είναι : ;

Ας υποθέσουμε ότι BD=CS

.Ισχύει

Είναι $BD= \dfrac{ac}{b+c}$ οπότε $b-c=a-\dfrac{2ac}{b+c} \Leftrightarrow b+c=a$ άτοπο

: αδύνατη ισότητα.png (40.57 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

S.E.Louridas · #6

Καλημέρα καλημέρα. Κυριολεκτικά και μόνο για λόγους πολυφωνίας.

Εύκολα παίρνουμε ότι το σημείο

είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στη βάση BC.

Άρα από τη θεωρία, για το σημείο

επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τη

, προκύπτει ότι $BT = SC = \tau - c,\;BT < BD,$
αφού από υπόθεση παίρνουμε $\angle ADB < \frac{\pi }{2} < \angle ADC.$

Η αδύνατη ισότητα

Η αδύνατη ισότητα

Re: Η αδύνατη ισότητα

Re: Η αδύνατη ισότητα

Re: Η αδύνατη ισότητα

Re: Η αδύνατη ισότητα

Re: Η αδύνατη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση