Μεγάλες κατασκευές 90

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 90.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο ABCD

με πλευρές : AB=DC=6 , AD=BC=4

,

με την εξής ιδιότητα : Αν η κάθετη στο άκρο

της πλευράς

τέμνει την

στο

και την

στο

, η δε κάθετη από το

προς την

, την τέμνει στο σημείο

, να προκύπτει : $DS \perp SP$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 10, 2022 1:33 pm
Μεγάλες κατασκευές 90.pngΝα κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο με πλευρές : ,

με την εξής ιδιότητα : Αν η κάθετη στο άκρο της πλευράς τέμνει την στο και την

στο , η δε κάθετη από το προς την , την τέμνει στο σημείο , να προκύπτει : $DS \perp SP$ .

Ανάλυση

: Μεγάλες κατασκευές 90_Ανάλυση_Κατασκευή.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ASTD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSTP$ προκύπτει αβίαστα ότι:

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ και έτσι θα είναι , $AT \bot TB\,\,$ και το τετράπλευρο ASPC

είναι εγγράψιμο.

Αναγκαστικά τώρα υπάρχει $k \in \left( {0,\dfrac{4}{3}} \right)$ έτσι ώστε $SB = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP = 3k$ οπότε:

$\dfrac{{A{T^2}}}{{T{C^2}}} = \dfrac{{AS \cdot AB}}{{CP \cdot CB}} = \dfrac{{12\left( {3 - k} \right)}}{{4\left( {4 - 3k} \right)}} = \dfrac{{3\left( {3 - k} \right)}}{{4 - 3k}}\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή $\vartriangle ADT \approx \vartriangle CPT \Rightarrow \dfrac{{AT}}{{TC}} = \dfrac{{AS}}{{CP}} = \dfrac{4}{{4 - 3k}}\,\,\left( 2 \right)$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει : $\boxed{k = \frac{{13 - \sqrt {89} }}{6}}$ .

Το τμήμα

κατασκευάζεται γεωμετρικά οπότε έχω την παρακάτω κατασκευή.

Κατασκευή

: Μεγάλες κατασκευές 90_κατασκευή.png (25 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα AB = 6

. Γράφω το κύκλο $\left( {B,2k} \right)$ που τέμνει το

στο

.
Στο

υψώνω κάθετη επί την

και τέμνει στο

,το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Η ημιευθεία

τέμνει τον κύκλο $\left( {B,4} \right)$ σε δυο σημεία , έστω

το πιο μακρινό από το

.

Έτσι έχω την τρίτη κορυφή του παραλληλογράμμου . Το συμμετρικό του

ως προς το μέσο του

είναι το

.

Διερεύνηση δεν έκανα ( νυστάζω)

Τελικά με τα μήκη που δόθηκαν δεν βλέπω άλλη λύση .

Μεγάλες κατασκευές 90

Μεγάλες κατασκευές 90

Re: Μεγάλες κατασκευές 90

Μέλη σε σύνδεση