Απόσταση δύο κύκλων

#1

Με βάση πρόβλημα που πρότεινε στις αρχές του μήνα στο Μαθηματικό Εργαστήρι (ΦΒ) ο γνωστός μας Ευθύμης Αλεξίου, προτείνω:

Να προσδιορισθούν επακριβώς/αλγεβρικώς τα σημεία επί του εγγεγραμμένου κύκλου στην πλευρά { (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)

} και επί του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1)

του κύβου { (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1)

} τα οποία υλοποιούν την ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στους δύο κύκλους.

[Το αρχικό πρόβλημα ζητούσε γεωμετρικό προσδιορισμό των ως άνω σημείων και ακριβή υπολογισμό της ελάχιστης απόστασης.]

#2

Η ελάχιστη απόσταση είναι ίση προς $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$ , και αυτό προκύπτει από μια απλή γεωμετρική παρατήρηση: υπάρχουν σημεία P, Q

επί των δύο κύκλων τέτοια ώστε το κέντρο του κύβου

και τα

να είναι συνευθειακά, οπότε η απόσταση ανάμεσα στους δύο κύκλους δεν μπορεί να είναι μικρότερη της |KQ|-|KP|=|PQ|

. Η ύπαρξη των P, Q

εξασφαλίζεται από την εξής παρατήρηση: αν θεωρήσουμε τις τομές των 6 άπειρων κώνων με κορυφή το

που περιέχουν τους εγγεγραμμένους κύκλους στις 6 πλευρές του κύβου με την περιγεγραμμένη σφαίρα του κύβου προκύπτουν 6 αλληλεφαπτόμενοι κύκλοι επί της σφαίρας αυτής, και καθένας από αυτούς τους κύκλους τέμνει αναγκαστικά κάποιον 'γειτονικό' του τρικόρυφο κύκλο^ για παράδειγμα, οι 'επί της σφαίρας κυκλικές επεκτάσεις' των κύκλων που είναι εγγεγραμμένοι στις πλευρές { (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)

} (δοθείς), { (0,0,0), (1,0,0), (1,0,1), (0,0,1)

}, {

} τέμνουν υποχρεωτικά τον κύκλο που διέρχεται από τις κορυφές (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1)

(δοθείς). [Ανάλογη και η λύση που είχε κατά νου ο προτείνων Ευθύμης Αλεξίου.]

Σκοπός μας εδώ είναι ο ακριβής αλγεβρικός προσδιορισμός των P, Q

. Δίνω παρακάτω μια λύση που βασίζεται στην παραπάνω γεωμετρική προσέγγιση, αργότερα θα δώσω και μία πλήρως μη γεωμετρική λύση βασιζόμενη σε γενικότερη αλγεβρική προσέγγιση.

Για τις ανάγκες του προβλήματος σκέφθηκα να επανατοποθετήσω το διαγώνιο/διχοτομούν επίπεδο που ορίζουν οι κορυφές (1,0,1), (1,0,0), (0,1,1), (0,1,0)

στο

επίπεδο, έτσι ώστε οι δύο δοθέντες κύκλοι να είναι κάθετοι προς αυτό, δηλαδή 'κατακόρυφοι'. Ύστερα από αυτόν τον μετασχηματισμό το διαγώνιο/διχοτομούν επίπεδο έχει απεικονισθεί στο ορθογώνιο με κορυφές $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ , $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ , $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ , $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ , ο εγγεγραμμένος κύκλος έχει κέντρο το $\left(0,-\dfrac{1}{2}, 0\right)$ , και ο τρικόρυφος κύκλος έχει κέντρο το σημείο τομής των δύο καθέτων ευθυγράμμων τμημάτων με άκρα τα $\left(0,-\dfrac{1}{2}, 0\right)$ & $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ και $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ & $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ , δηλαδή το $\left(\dfrac{1}{3\sqrt{2}},-\dfrac{1}{6},0\right)$ . [Βλέπετε συνημμένο.]

Ο εγγεγραμμένος κύκλος έχει ακτίνα $\dfrac{1}{2}$ (μπλε στο συνημμένο), άρα το τυχόν σημείο του

μπορεί να γραφεί ως $\left(\dfrac{cos\theta}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{sin\theta}{2}\right)$ , όπου $\theta$ η γωνία ανάμεσα στον θετικό άξονα των

και στην ακτίνα που ορίζει το τυχόν σημείο. Αναζητούμε τώρα συντελεστή μεγέθυνσης (ομοιοθεσίας)

και γωνία $\theta$ τέτοια ώστε το αντίστοιχο τυχόν σημείο $\left(\dfrac{rcos\theta}{2},-\dfrac{r}{2},\dfrac{rsin\theta}{2}\right)$ επί του σφαιρικού κύκλου που προκύπτει από τον εγγεγραμμένο κύκλο (όπως περιγράψαμε νωρίτερα) να κείται επί του τρικόρυφου κύκλου. (Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο τρικόρυφος κύκλος έχει ακτίνα (με κόκκινο στο συνημμένο) μήκους $\sqrt{2/3}$ .)

Ο

βρίσκεται άμεσα χάρις στην εξής παρατήρηση: η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του κύβου είναι ίση προς $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (απόσταση ανάμεσα στο κέντρο του κύβου

και οποιαδήποτε κορυφή του κύβου), ενώ η απόσταση από το

ως οποιοδήποτε σημείο του εγγεγραμμένου στην πλευρά κύκλου ισούται προς $\sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , άρα $r=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3/2}$ .

H $\theta$ προκύπτει από την εξής παρατήρηση: επειδή ο τρικόρυφος κύκλος είναι κατακόρυφος προς το ορθογώνιο, κάθε σημείο

επ' αυτού προβάλλεται επί της ευθείας που ορίζουν το κέντρο του $\left(\dfrac{1}{3\sqrt{2}},-\dfrac{1}{6},0\right)$ και η άνω δεξιά κορυφή του ορθογωνίου $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},0\right)$ , που έχει εξίσωση $y=\sqrt{2}x-\dfrac{1}{2}$ ^ σύμφωνα με την προηγούμενη παράγραφο και την όλη στρατηγική μας το

είναι της μορφής $\left(\dfrac{\sqrt{3/2}cos\theta}{2}, -\dfrac{\sqrt{3/2}}{2},\dfrac{\sqrt{3/2}sin\theta}{2}\right)$ , ισχύει συνεπώς η $-\dfrac{\sqrt{3/2}}{2}=\sqrt{2}\dfrac{\sqrt{3/2}cos\theta}{2}-\dfrac{1}{2}$ , που δίνει $cos\theta =\dfrac{1-\sqrt{3/2}}{\sqrt{3}}$ και $sin\theta =\pm\displaystyle\sqrt{\dfrac{1+2\sqrt{6}}{6}}}$ .

Σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν, είναι τώρα φανερό ότι $P=\left(\dfrac{cos\theta}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{sin\theta}{2}\right)=\left(\dfrac{1-\sqrt{3/2}}{2\sqrt{3}},-\dfrac{1}{2},\pm\sqrt{\dfrac{1+2\sqrt{6}}{24}}\right)$ και $Q=\left(\dfrac{rcos\theta}{2},-\dfrac{r}{2},\dfrac{rsin\theta}{2}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3/2}-3/2}{2\sqrt{3}},-\sqrt{\dfrac{3}{8}},\pm\dfrac{\sqrt{1+2\sqrt{6}}}{4}\right)$ .

...Δεν έχουμε όμως τελειώσει, καθώς πρέπει να μεταφέρουμε τα P, Q

πίσω στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων! Αυτό γίνεται μέσω της απεικόνισης

(x,y,z)

-------> $\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\dfrac{z}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2},-\dfrac{x}{\sqrt{2}}-\dfrac{z}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2},y+\dfrac{1}{2}\right),$

οπότε λαμβάνουμε τελικά

$P=\left(\dfrac{1-\sqrt{3/2}}{2\sqrt{6}}\mp\sqrt\dfrac{1+2\sqrt{6}}{48}}+\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3/2}-1}{2\sqrt{6}}\mp\sqrt\dfrac{1+2\sqrt{6}}{48}}+\dfrac{1}{2}, 0\right)$

και

$Q=\left(\dfrac{\sqrt{3/2}-3/2}{2\sqrt{6}}\mp\dfrac{\sqrt{1+2\sqrt{6}}}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2},\dfrac{3/2-\sqrt{3/2}}{2\sqrt{6}}\mp\dfrac{\sqrt{1+2\sqrt{6}}}{4\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2},-\sqrt{\dfrac{3}{8}}+\dfrac{1}{2}\right).$

[Οι παραπάνω τύποι επιβεβαιώνονται απολύτως με χρήση λογισμικών σε διαφορετική προσέγγιση^ τα ζητούμενα ζεύγη σημείων

&

είναι τα

&

και

&

.]

Απόσταση δύο κύκλων

Απόσταση δύο κύκλων

Re: Απόσταση δύο κύκλων

Μέλη σε σύνδεση