Μετρική σε ισόπλευρο

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μετρική σε ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm

Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:
Μετρική σε ισόπλευρο.png
Μετρική σε ισόπλευρο.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα

MA^4+MB^4+MC^4.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1398
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Φεβ 09, 2019 2:53 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:
Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα MA^4+MB^4+MC^4.
Καλησπέρα Γιώργο.

Από Πτολεμαίο, είναι AM \cdot a=AB \cdot MC + AC \cdot MB \Rightarrow MA=MB+MC.

Έστω, BM=k, MC=\ell.

Είναι, \angle BMC=180^\circ-\angle A=120^\circ.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle BMC ή αλλιώς (*) k^2+k\ell+\ell^2=a^2.

Όμως, είναι MA^4+MB^4+MC^4=(k+\ell)^4+k^4+\ell^4=2(k^2+k\ell+\ell^2)^2=2a^4. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(*) Αλλιώς, φέρνοντας BQ \perp MC. Είναι, \angle BMQ=60^\circ, \anglw QBM=30^\circ.

Οπότε, BQ=\dfrac{k\sqrt{3}}{2}, και QM=\dfrac{k}{2}. Με Π.Θ., είναι \dfrac{3k^2}{4}+(\dfrac{k}{2}+\ell)^2=a^2 \Rightarrow k^2+k\ell+\ell^2=a^2.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Φεβ 10, 2019 11:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 09, 2019 6:47 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 2:53 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:

Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα MA^4+MB^4+MC^4.
Καλησπέρα Γιώργο.

Από Πτολεμαίο, είναι AM \cdot a=AB \cdot MC + AC \cdot MB \Rightarrow MA=MB+MC.

Έστω, BM=k, MC=\ell.

Είναι, \angle BMC=180^\circ-\angle A=120^\circ.

Τότε, από Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle BMC ή αλλιώς (*) k^2+k\ell+\ell^2=a^2.

Όμως, είναι MA^4+MB^4+MC^4=(k+\ell)^4+k^4+\ell^4=2(k^2+k\ell+\ell^2)^2=2a^2. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(*) Αλλιώς, φέρνοντας BQ \perp MC. Είναι, \angle BMQ=60^\circ, \anglw QBM=30^\circ.

Οπότε, BQ=\dfrac{k\sqrt{3}}{2}, και QM=\dfrac{k}{2}. Με Π.Θ., είναι \dfrac{3k^2}{4}+(\dfrac{k}{2}+\ell)^2=a^2 \Rightarrow k^2+k\ell+\ell^2=a^2.
Πολύ ωραία Ορέστη :clap2:


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 895
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Φεβ 09, 2019 9:50 pm

Γιώργο , το θέμα έχει συζητηθεί στην παρακάτω δημοσίευση
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... BC#p215548
Xαίρομαι πολύ που ασχολήθηκε με το θέμα ο Ορέστης Λιγνός.
Ορέστη μου να είσαι πάντα καλά...


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 10, 2019 12:13 am

Σ' ευχαριστώ Τηλέμαχε για την παραπομπή. Δεν το θυμόμουν καθόλου αν και είχα

συμμετάσχει σε ένα ερώτημα. Αν δεν δοθεί άλλη λύση, θα ανεβάσω μία με Αναλυτική.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2151
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Φεβ 10, 2019 9:38 am

AN \displaystyle{S_n=MA^n+MB^n+MC^n,n\in N} μπορεί να αποδειχθεί ότι μόνο για \displaystyle{n=2,n=4} το \displaystyle{S_n} είναι σταθερό δηλαδή ανεξάρτητο του \displaystyle{n} H λύση με μιγαδικούς βρίσκεται στο βιβλίο μου Μιγαδικοί και μετ/μοί Moebius σελ 127 ασκηση Α11


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1770
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Φεβ 10, 2019 1:16 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Φεβ 09, 2019 12:36 pm
Πιθανόν να έχει συζητηθεί ξανά. Στη συλλογή ασκήσεων στο ισόπλευρο δεν την βρήκα (εκτός κι αν μου διέφυγε).

Το θέμα είναι ότι έχω λύση με Αναλυτική και ζητάω Ευκλείδεια λύση στην παρακάτω άσκηση:

Μετρική σε ισόπλευρο.png
Αν M είναι τυχαίο σημείο στον περίκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου ABC πλευράς a, να υπολογίσετε το άθροισμα

MA^4+MB^4+MC^4.
Ειναι γνωστή η άσκηση MA=MB+MC, θέτω MB=x,MC=y




Oπότε θα υπολογισθεί (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}
Για τα εμβαδά των τριγώνων ABC,MBC είναι \dfrac{(ABC)}{(MBC)}=\dfrac{a^{2}}{xy}\Rightarrow 4(MBC)=\sqrt{3}xy\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.4(MT).a=\sqrt{3}xy\Leftrightarrow MT=\dfrac{\sqrt{3xy}}{2a},(1)

απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο MBD,BD=\dfrac{ax}{x+y},DC=\dfrac{ay}{x+y} και MD.AD=BD.DC συνεπώς MD.AD=\dfrac{a^{2}xy}{(x+y)^{2}},(2), MD+AD=x+y,(3) ,

Τα ορθογώνια τρίγωνα MTD,DAE είναι όμοια άρα \dfrac{2MT}{a\sqrt{3}}=\dfrac{MD}{AD} και λόγω της (1),\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{xy}{a^{2}},(4) (2),(3),(4)\Rightarrow AD=\dfrac{a^{2}}{x+y},AD=\dfrac{(x+y)a^{2}}{xy+a^{2}}

Συνεπώς

(x+y)^{2}=xy+a^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}-xy,(*), (x+y)^{4}+x^{4}+y^{4}=

               (a^{2}+xy)^{2}+(a^{2}-xy)^{2}-2x^{^{2}}y^{2}=2.a^{4}



Γιάννης
Συνημμένα
Μετρική σε ισόπλευρο.png
Μετρική σε ισόπλευρο.png (85.15 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7830
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μετρική σε ισόπλευρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 11, 2019 5:03 pm

Μία με Αναλυτική. Έστω a=2k η πλευρά του ισοπλεύρου ABC, του οποίου οι συντεταγμένες των

κορυφών φαίνονται στο σχήμα και M(x,y) ένα τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου.
Μετρική σε ισόπλευρο..png
Μετρική σε ισόπλευρο..png (18.7 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές
Είναι, \displaystyle {(x - k)^2} + {\left( {y - \frac{{k\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{4{k^2}}}{3} \Leftrightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} - 2kx - \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3} = 0} (1)

\displaystyle M{A^4} + M{B^4} + M{C^4} = {\left( {{{(x - k)}^2} + {{(y - k\sqrt 3 )}^2}} \right)^2} + {({x^2} + {y^2})^2} + {\left( {{{(x - 2k)}^2} + {y^2}} \right)^2}

\displaystyle \mathop  = \limits^{(1)} {\left( {4{k^2} - \frac{{4ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {2kx + \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {4{k^2} - 2kx + \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}=...

\displaystyle  = 32{k^4} + 8{k^2}{x^2} + 8{k^2}{y^2} - 16{k^3}x - \frac{{16{k^3}y\sqrt 3 }}{3} = 32{k^4} + 8{k^2}\left( {{x^2} + {y^2} - 2kx - \frac{{2ky\sqrt 3 }}{3}} \right)\mathop  = \limits^{(1)} 32{k^4}

Επειδή όμως a=2k, θα είναι \boxed{MA^4+MB^4+MC^4=2a^4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης