Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου

KARKAR · #1

: Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου.png (7.34 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

Από την κορυφή

του πλευράς

, τετραγώνου ABCD

διέρχεται ευθεία , προς την οποία

φέρουμε τα κάθετα τμήματα

και

. Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του (ABEZ)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 13, 2017 2:39 pm
Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου.pngΑπό την κορυφή του πλευράς , τετραγώνου διέρχεται ευθεία , προς την οποία

φέρουμε τα κάθετα τμήματα και . Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του .

: Trapezoid versus square.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Αν $\displaystyle AH \bot BE$ , προφανώς το AHEZ

είναι τετράγωνο πλευράς έστω

και αν

είναι η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, τότε:

$\displaystyle (ABEZ) = \frac{{AZ + BE}}{2} \cdot EZ = \frac{{2x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{2} \cdot x = \frac{1}{2}\left( {2{x^2} + x\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)$ , όπου με τη βοήθεια παραγώγων

προκύπτει ότι έχουμε για $\boxed{ x = a\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 5 }}}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed {{(ABEZ)_{\max }} = \frac{1}{4}\left( {2 + \sqrt 5 } \right){a^2}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 13, 2017 2:39 pm
Από την κορυφή του πλευράς , τετραγώνου διέρχεται ευθεία , προς την οποία

φέρουμε τα κάθετα τμήματα και . Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή του .

Και μια άλλη αντιμετώπιση(με πολλές όμως πράξεις..)
Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Τραπέζιο εναντίον τραπεζίου 1.png (29.15 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ να σχηματίζει γωνία $\displaystyle{\theta}$ με την πλευρά $\displaystyle{AD}$ του τετραγώνου $\displaystyle{ABCD}$
τέτοια ώστε να είναι:
$\displaystyle{0^o \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \ \ (1)}$
Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι:
$\displaystyle{Ε(ABZE)=(MN)(EZ) \ \ (2)}$
όπου $\displaystyle{MN}$ η διάμεσος του τραπεζίου αυτού.
Επίσης από το ανωτέρω σχήμα προκύπτει:

$\displaystyle{(ZE)=lsin\theta \ \ (3)}$

$\displaystyle{ (DM)=\frac{l\sqrt{5}}{2}\ \ (4)}$

$\displaystyle{(MN)=(DM)cos\phi=\frac{l\sqrt{5}}{2}cos(\frac{\pi}{2}-\theta-\omega)=\frac{l\sqrt{5}}{2}sin(\theta+\omega) \ \ (5)}$

Από τις (2), (3) και (5) προκύπτει:

$\displaystyle{E(ABZE)=\frac{l^2\sqrt{5}}{4}(2sin(\theta +\omega)sin\theta)=\frac{l^2\sqrt{5}}{4}(cos\omega-cos(2\theta+\omega))\ \ (6)}$

Όμως από τη σχέση (1) ακόμα είναι:

$\displaystyle{\omega \leq 2\theta \leq 180^o+\omega, \ \ (7)}$

όπου η γωνία $\displaystyle{\omega}$ είναι οξεία και από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{MDN}$ ικανοποιεί τη σχέση:

$\displaystyle{cos\omega =\frac{2\sqrt{5}}{5}\ \ (8)}$

Επομένως από την (6) η μεγιστοποίηση που ζητάμε για το εμβαδόν του $\displaystyle{E(ABEZ)}$ γίνεται όταν:

$\displaystyle{cos(2\theta+\omega)=-1}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{\theta=90^o-\frac{\omega}{2} \ \ (9)}$

όπου $\displaystyle{\omega =Arcsin(\frac{2\sqrt{5}}{5}) \ \ (10)}$

Το ζητούμενο μέγιστο τότε θα είναι:

$\displaystyle{E_{max}=\frac{l^2\sqrt{5}}{4}(\frac{2\sqrt{5}}{5}-(-1))=...=\frac{l^2}{4}(2+\sqrt{5})}$

(Όμοια εργαζόμαστε και για τις άλλες περιπτώσεις της μεταβολής της γωνίας $\displaystyle{\theta}$ )

Κώστας Δόρτσιος

Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου

Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου

Re: Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου

Re: Τραπέζιο εναντίον τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση