Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

#1

Με αφορμή αυτό ... προτείνω:

Να κατασκευασθεί ισοσκελές τρίγωνο γνωρίζοντας

1) Την διάμεσο που αντιστοιχεί σε μια από τις ίσες πλευρές

2) Το άθροισμα της βάσης και μιας από τις άλλες πλευρές.

[Η αναλυτική προσέγγιση οδηγεί σε δευτεροβάθμια με μοναδική αποδεκτή λύση ... οπότε ας αναζητήσουμε κατ' αρχήν συνθετικές λύσεις!]

#2

gbaloglou έγραψε:Με αφορμή αυτό ... προτείνω:

Να κατασκευασθεί ισοσκελές τρίγωνο γνωρίζοντας

1) Την διάμεσο που αντιστοιχεί σε μια από τις ίσες πλευρές

2) Το άθροισμα της βάσης και μιας από τις άλλες πλευρές.

[Η αναλυτική προσέγγιση οδηγεί σε δευτεροβάθμια με μοναδική αποδεκτή λύση ... οπότε ας αναζητήσουμε κατ' αρχήν συνθετικές λύσεις!]

Είναι αποδεκτές και οι δύο λύσεις, μου είχε ξεφύγει ένα 2 στο υπόρριζο -- ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για την επισήμανση!

[Οι δύο λύσεις νομίζω πάντως ότι είναι κατασκευάσιμες.]

#3

Χαιρετώ!

Ας δούμε πρώτα μία υπολογιστική προσέγγιση.

: Κατασκευή ισοσκελούς (gbaloglou).png (16.96 KiB) Προβλήθηκε 1714 φορές

Έστω

και η διάμεσος BM=m

. Ως γνωστόν είναι: $\displaystyle{m < \frac{{a + b}}{2} \Leftrightarrow 2m < k \Rightarrow }$ $\boxed{k^2-4m^2>0}$ (1)

Από θεώρημα διαμέσων είναι: $\displaystyle{4{m^2} = 2{a^2} + {b^2} = 2{a^2} + {(k - a)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{3a^2-2ka+k^2-4m^2=0}$ (2)

● Η τελευταία αυτή εξίσωση έχει δύο λύσεις όταν: $\displaystyle{\Delta = 8(6{m^2} - {k^2}) > 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{2m < k < m\sqrt{6}}$

Πράγματι, μ' αυτούς τους περιορισμούς εξασφαλίζεται η λύση της εξίσωσης και επειδή το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών είναι θετικό,

η εξίσωση έχει πάντοτε δύο δεκτές ρίζες και κατά συνέπεια το πρόβλημα έχει δύο λύσεις.

● Αν τώρα $\displaystyle{\Delta = 0\Leftrightarrow k = m\sqrt 6 }$ τότε έχουμε μία λύση με $\displaystyle{a = \frac{k}{3},b = \frac{{2k}}{3}}$

● Τέλος, αν $\Delta<0$ το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Επεξεργασία: Έκανα κάποιες διορθώσεις στη διερεύνηση (2/8/16 ώρα 07:59).

#4

Γιώργο ακριβώς έτσι έχουν τα πράγματα, στην δική μου αναλυτική προσέγγιση με κορυφές (-b,0)

,

, μήκος διαμέσου

και άθροισμα πλευρών

-- όπως εδώ δηλαδή -- βγάζω

$b=\displaystyle\frac{D\pm\sqrt{12d^2-2D^2}}{6},$

απ' όπου προκύπτουν και οι περιορισμοί $2d\leq D\leq d\sqrt{6}$ (θετικότητα αριθμητή ( $D\geq 2d$ ) και υπόρριζου ( $D\leq d\sqrt{6}$ )).

Δύο λύσεις λοιπόν, εκτός και αν $D=d\sqrt{6}$ , οπότε έχουμε μοναδική λύση, όπως ήδη επισημάνθηκε. (Στην περίπτωση D=2d

... οι δύο λύσεις είναι εκφυλισμένες, μία με a=0

και μία με b=0

.)

Όπως ήδη είπαμε, και όπως δείχνουν και οι δύο προσεγγίσεις, οι λύσεις είναι κατασκευάσιμες: σίγουρα οι τύποι μας δίνουν και γεωμετρικό τρόπο κατασκευής, το ερώτημα είναι αν υπάρχει κάποιος άμεσος/έξυπνος τέτοιος τρόπος! (Και σίγουρα είναι γενικότερο το ερώτημα: συνεπάγεται η κατασκευασιμότητα την ύπαρξη κομψής κατασκευής;)

#5

gbaloglou έγραψε: ...Όπως ήδη είπαμε, και όπως δείχνουν και οι δύο προσεγγίσεις, οι λύσεις είναι κατασκευάσιμες: σίγουρα οι τύποι μας δίνουν και γεωμετρικό τρόπο κατασκευής, το ερώτημα είναι αν υπάρχει κάποιος άμεσος/έξυπνος τέτοιος τρόπος! (Και σίγουρα είναι γενικότερο το ερώτημα: συνεπάγεται η κατασκευασιμότητα την ύπαρξη κομψής κατασκευής;)

Καλημέρα Γιώργο!

Αυτό ακριβώς έψαχνα κι εγώ. Μία κομψή κατασκευή, ανεξάρτητη από το υπολογιστικό κομμάτι. Δεν βρήκα όμως τίποτα!

Δυστυχώς, η κατασκευασιμότητα ενός προβλήματος δεν συνεπάγεται κατ' ανάγκη και την ύπαρξη κομψής κατασκευής!

Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Re: Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Re: Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Re: Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Re: Διάμεσος αντί ύψους [κατασκευή ισοσκελούς]

Μέλη σε σύνδεση