Γωνία διαμέσου ύψους

abgd · #1

Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ, να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση:

Έστω τρίγωνο με .

Αν η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την τότε:

Η γωνία είναι ίση με αν και μόνο αν

Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας.

#2

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 12, 2026 12:34 pm
Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ, να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση:

Έστω τρίγωνο με .

Αν η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την τότε:

Η γωνία είναι ίση με αν και μόνο αν
Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας.

Αν

είναι το μέσο του

τότε οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με

και οι πράσινες ίσες με

: Γωνία ύψους διαμέσου.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές

Άρα, $D\widehat NM=B-C.$ Αν λοιπόν $A = 90^\circ,$ τότε το ADMN

είναι εγγράψιμο, άρα $D\widehat AM=B-C.$

Αν πάλι $D\widehat AM=B-C,$ το ADMN

είναι και πάλι εγγράψιμο, οπότε $A = 90^\circ.$

abgd · #3

Γιώργο Μπράβο

Πολύ ωραία απόδειξη... καμία σχέση μ' αυτό που είχα υπόψιν μου, (αρκετά πιο πολύπλοκο).

Με τη βοήθεια αυτής της πρότασης λύνεται εύκολα και η άσκηση του Θανάση .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 12, 2026 12:34 pm
Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ, να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση:

Έστω τρίγωνο με .

Αν η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την τότε:

Η γωνία είναι ίση με αν και μόνο αν
Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας.

Με

μεσοκάθετη της

,προφανώς $\angle \theta = \angle B-C \Rightarrow AEMB$ εγγράψιμμο,άρα $AB \bot AC$

Το αντίστροφο προφανές

: Γωνία ύψους-διαμέσου.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

KARKAR · #5

: Αν ορθή.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

α) Αν : $\hat{A}=90^0$ τότε : $\widehat{DAM}=90^0-2\phi = \hat{B}-\hat{C}$ .

: Τριγωνομετρικά.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

β) Αν : $\widehat{DAM}=\theta -\phi$ , τότε με νόμο ημιτόνων στα ABM , ACM

, έχουμε :

$\dfrac{\sin(90-\phi)}{\sin\theta}= \dfrac{a}{2AM}=\dfrac{\sin(90-\theta)}{\sin\phi}$ , συνεπώς : $2\theta=180-2\phi$ ,

δηλαδή : $\theta+\phi=90^0$ , που σημαίνει ότι : $\hat{A}=90^0$ .

Σημείωση : Ο Γιώργος Ρίζος επινόησε την φράση :"χωρίς καμία βοηθητική γραμμή " και ενστερνίστηκε

με χαρά την φράση : " λίγη τριγωνομετρία δεν έβλαψε κανένα "

#6

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 12, 2026 12:34 pm
Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ, να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση:

Έστω τρίγωνο με .

Αν η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την τότε:

Η γωνία είναι ίση με αν και μόνο αν
Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας.

Άλλη μία "χωρίς βοηθητική γραμμή", όπως λέει ο Γιώργος Ρίζος

, αλλά και χωρίς τριγωνομετρία.

Αν $\widehat A=90^\circ,$ τότε $\displaystyle A\widehat MD = 2\widehat C = 90^\circ - D\widehat AM \Leftrightarrow D\widehat AM = \widehat B + \widehat C - 2\widehat C = \widehat B - \widehat C$

: Γωνία ύψους διαμέσου.β.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

Αν $D\widehat AM = \widehat B - \widehat C,$ τότε $\displaystyle B\widehat AM = (90^\circ - \widehat B) + (\widehat B - \widehat C) = 90^\circ - \widehat C = D\widehat AC$

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, που σημαίνει ότι η

είναι η

συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC,

οπότε $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{A{D^2} + B{D^2}}}{{A{D^2} + D{C^2}}} \Leftrightarrow (DC - DB)(A{D^2} - BD \cdot DC) = 0$

Αλλά η πρώτη παρένθεση δεν μηδενίζεται αφού $\widehat B>\widehat C,$ άρα $AD^2=BD\cdot DC,$ δηλαδή $\boxed{\widehat A=90^\circ}$

#7

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 12, 2026 12:34 pm
Με αφορμή την άσκηση του Θανάση εδώ, να δώσω μια, χρήσιμη ίσως, πρόταση:

Έστω τρίγωνο με .

Αν η διάμεσος και το ύψος αντίστοιχα του τριγώνου προς την τότε:

Η γωνία είναι ίση με αν και μόνο αν
Έχω μια απόδειξη... περιμένω τις δικές σας.

: Γωνία διαμέσου και ύψους.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

Χωρίς λόγια .

#8

Καλησπέρα σε όλους τους αγαπητούς φίλους. Απόκριες είναι. Ας μεταμφιεστώ κι εγώ δίνοντας μια λύση δίχως ίχνος τριγωνομετρίας.

: 13-02-2026 Γεωμετρία.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat B > \widehat C$

Για την 1η συνεπαγωγή:
$\displaystyle \widehat A = 90^\circ \Rightarrow \mathop {BZ}\limits^ \cap + \mathop {ZE}\limits^ \cap + \mathop {EC}\limits^ \cap = 180^\circ$

Αφού

μέσο

, θα είναι $\displaystyle \mathop {EC}\limits^ \cap = \mathop {AB}\limits^ \cap$

$\displaystyle \widehat D = 90^\circ \Rightarrow \mathop {BZ}\limits^ \cap + \mathop {AC}\limits^ \cap = 180^\circ$

Άρα $\displaystyle \mathop {ZE}\limits^ \cap + \mathop {EC}\limits^ \cap = \mathop {AC}\limits^ \cap \Leftrightarrow \mathop {ZE}\limits^ \cap = \mathop {AC}\limits^ \cap - \mathop {AB}\limits^ \cap$ , οπότε $\displaystyle \widehat {DAM} = \widehat B - \widehat C$

Για τη 2η συνεπαγωγή:

$\displaystyle \widehat {DAM} = \widehat B - \widehat C \Rightarrow \mathop {ZE}\limits^ \cap = \mathop {AC}\limits^ \cap - \mathop {AB}\limits^ \cap \Rightarrow \mathop {ZE}\limits^ \cap + \mathop {AB}\limits^ \cap = \mathop {AC}\limits^ \cap$

$\displaystyle \widehat D = 90^\circ \Rightarrow \mathop {BZ}\limits^ \cap + \mathop {AC}\limits^ \cap = 180^\circ$

Άρα $\displaystyle \mathop {ZE}\limits^ \cap + \mathop {BZ}\limits^ \cap + \mathop {AB}\limits^ \cap = 180^\circ$ , οπότε

διάμετρος και αφού τέμνει τη

στο μέσο της

, θα είναι $\displaystyle \widehat A = 90^\circ$

abgd · #9

Ευχαριστώ όλους σας για τις υπέροχες και ευφάνταστες απαντήσεις σας.

Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η σχέση της γωνίας DAM

με τη διαφορά B-C

, στις περιπτώσεις που η γωνία

είναι οξεία:

: oxia.png (37.58 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

είναι αμβλεία:

: amvlia.png (40.1 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές

Γωνία διαμέσου ύψους

Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Re: Γωνία διαμέσου ύψους

Μέλη σε σύνδεση