Βάσανα

KARKAR · #1

Ήλθε ο καιρός για μια άσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ... "

: Βάσανα.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Στην διάμετρο

ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

και έστω

το σημείο του τόξου , για το οποίο είναι :

$TS \perp AB$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TAB}$ , τέμνει την

στο σημείο

. Βρείτε την ψηλότερη θέση του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 27, 2025 9:58 am
Ήλθε ο καιρός για μια άσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ... "

Βάσανα.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου κινείται σημείο και έστω το σημείο του τόξου , για το οποίο είναι :

$TS \perp AB$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TAB}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την ψηλότερη θέση του .

Με

(ζητούμενο) είναι SB=2R-x

και άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο ATB

είναι $ST=\sqrt {AS \cdot SB}=\sqrt {x(2R-x)}$ . Επίσης, $AT^2=AS\cdot AB= 2Rx$

Αφού η

είναι διχοτόμος έχουμε από το θεώρημα της διχοτόμου ότι

$SP=\dfrac {AS\cdot ST}{AS+AT}= \dfrac {x \sqrt {x(2R-x)}}{x+ \sqrt {2Rx}}= \dfrac {x \sqrt {2R-x}}{\sqrt x+ \sqrt {2R}}$ .

Από εδώ και πέρα οι πράξεις είναι πολλές αλλά ρουτίνα, και τις έκανα με λογισμικό γιατί δεν αξίζουν τον κόπο. Άλλωστε, αυτό το μέρος της άσκησης είναι τεχνητή προσθήκη και θα μπορούσε η άσκηση να σταματάγε στο γεωμετρικό και ενδιαφέρον πρώτο μέρος της. 'Οπως και να είναι, το λογισμικό με παραγώγιση βρήκε ότι έχουμε μέγιστο για $x= \frac {1}{4} (\sqrt 17+9)R$ από όπου η τιμή της

είναι άμεση. Ελπίζω να έκανα σωστά την πληκτρολόγιση.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 27, 2025 9:58 am
Ήλθε ο καιρός για μια άσκηση του τύπου : "Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ... "

Βάσανα.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου κινείται σημείο και έστω το σημείο του τόξου , για το οποίο είναι :

$TS \perp AB$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TAB}$ , τέμνει την στο σημείο . Βρείτε την ψηλότερη θέση του .

Με πρόλαβε ο Μιχάλης με την ίδια ακριβώς λύση. Αφήνω το σχήμα και την απάντηση.

: Βάσανα.Κ.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

$\displaystyle S{P_{\max }} = \frac{R}{4}\left( {\sqrt {170\sqrt {17} - 698} } \right)$ όταν $\displaystyle x = \frac{R}{4}\left( {9 - \sqrt {17} } \right)$

Βάσανα

Βάσανα

Re: Βάσανα

Re: Βάσανα

Μέλη σε σύνδεση