Ελαχιστοποιήσεις

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποιήσεις.png (13.65 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Το

κινείται στον κύκλο (A , 5)

. Βρείτε το ελάχιστο του SB^2+SC^2

.

Μπορείτε να σκεφθείτε κάτι για το ελάχιστο του : SB + SC

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 11, 2025 9:34 am
Ελαχιστοποιήσεις.pngΤο κινείται στον κύκλο . Βρείτε το ελάχιστο του .

Μπορείτε να σκεφθείτε κάτι για το ελάχιστο του : ;

: Ελαχιστ.png (31.21 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές

Αν

το μέσον της υποτείνουσας, τότε $SB^2+SC^2= 2SM^2 + \dfrac {BC^2}{2}= 2SM^2 + \dfrac {17^2}{2}$

Οπότε έχουμε ελάχιστο όταν είναι ελάχιστο το μήκος

. Αυτό γίνεται όταν το

βρεθεί στην θέση

με

συνευθειακά. Είναι τότε

$TM=AM-AT= \dfrac {BC}{2}-5= \dfrac {17}{2}-5 = \dfrac {7}{2}$

Είναι τότε

$(SB^2+SC^2) _{min}= TB^2+TC^2= 2TM^2 + \dfrac {17^2}{2}= 2\cdot \dfrac {49}{4}+\dfrac {17^2}{2}=169$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 11, 2025 9:34 am
Ελαχιστοποιήσεις.pngΤο κινείται στον κύκλο . Βρείτε το ελάχιστο του .

Μπορείτε να σκεφθείτε κάτι για το ελάχιστο του : ;

: Ελαχιστοποιήσεις.Κ2.png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Με

μέσο του

είναι $\displaystyle S{B^2} + S{C^2} = 2S{M^2} + \frac{{289}}{2}.$ Η παράσταση λοιπόν ελαχιστοποιείται

όταν γίνει ελάχιστο το

Αλλά, $\displaystyle SM \ge AM - AS = \frac{7}{2}.$ Άρα, $\boxed{\min [S{B^2} + S{C^2}] = 169}$

Το ελάχιστο του SB + SC

υπό διερεύνηση.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω για τον κόπο.

#4

Θέτω $\displaystyle \cos \theta = x \Rightarrow \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta = \sqrt {1 - {x^2}}$ και με νόμο συνημιτόνου:

: Ελαχιστοποιήσεις.Κ2β.png (16.04 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

$\displaystyle SB + SC = \sqrt {89 - 80x} + \sqrt {250 - 150\sqrt {1 - {x^2}} },$ όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω

$\boxed{ \min [SB + SC] \simeq 17,64866}$ όταν $\boxed{x\simeq 0,8093376}$ δηλαδή, $\boxed{\theta\simeq 35,9687^\circ}$

Al.Koutsouridis · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 11, 2025 9:34 am
Ελαχιστοποιήσεις.pngΤο κινείται στον κύκλο . Βρείτε το ελάχιστο του .

Μπορείτε να σκεφθείτε κάτι για το ελάχιστο του : ;

Στην γενική του περίπτωση ο προσδιορισμός του σημείου

, που ελαχιστοποιεί το άθροισμα SB+SC

, ειναι ισοδύναμος με τον προσδιορισμό του σημείου επαφής του δοθέντος κύκλου και έλλειψης με εστίες τα σημεία B,C

. Γενικά δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη. Μια λύση του προβλήματος αυτού μπορεί κανείς να δει έδω.

Ελαχιστοποιήσεις

Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Μέλη σε σύνδεση