Παραμόρφωση

KARKAR · #1

: Παραμόρφωση.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

Μπορούμε στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , να πάρουμε διαδοχικές χορδές AS , SP

με :

$\dfrac{AS}{SP}=\dfrac{4}{5}$ , τέτοιες ώστε οι προβολές τους OS' , S'P'

στην

, να είναι ίσες ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 07, 2025 7:19 pm
Μπορούμε στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , να πάρουμε διαδοχικές χορδές με :

$\dfrac{AS}{SP}=\dfrac{4}{5}$ , τέτοιες ώστε οι προβολές τους στην , να είναι ίσες ;

.

: Παραμόρφωση.png (15 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

.
Χωρίς βλάβη η ακτίνα τoυ κύκλου είναι

. Παίρνουμε DS=PE=a

(το ζητούμενο), οπότε CP=2a

και $OD=\sqrt {1-a^2}, \, OC=\sqrt {1-4a^2}$ . Έπεται από αυτά

$ES=CD= SD-SC=\sqrt {1-a^2}-\sqrt {1-4a^2}$ .

Από το Πυθαγόρειο στα ADS, EPS

έχουμε

$AS^2= a^2+DA^2=a^2+(1-OD)^2=a^2+\left (1-\sqrt {1-a^2}\right )^2$ και

$SP^2= a^2+ES^2= a^2+\left (\sqrt {1-a^2}-\sqrt {1-4a^2}\right)^2$

Αλλά εξ υποθέσεως έχουμε $AS=\dfrac{4}{5} SP$ , ισοδύναμα $AS^2 =\dfrac{16}{25} SP^2$ . Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι

$a^2+\left (1-\sqrt {1-a^2}\right )^2 = \dfrac {16}{25}\left ( a^2+\left (\sqrt {1-a^2}-\sqrt {1-4a^2}\right)^2\right )$

Η εξίσωση αυτή είναι εύκολα επιλύσιμη γιατί υπάρχουν απολοποιήσεις αλλά, επειδή τα νούμερα είναι μεγάλα, την έκανα με λογισμικό. Βγαίνει

$\boxed {a= \dfrac {3\sqrt {-87858+3362\sqrt{6481} }}{3200} }$

(Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λογιστικό ή τυπογραφικό σφάλμα. Πάντως η ουσία είναι εκεί.)

Παραμόρφωση

Παραμόρφωση

Re: Παραμόρφωση

Μέλη σε σύνδεση